八数码问题完全版－是否可解判断及求解

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八数码问题
有一个3*3的棋盘，其中有0-8 9个数字，0表示空格，其他的数字可以和0交换位置。求由初始状态
1 2 3
4 5 6
7 8 0
到达目标状态步数最少的解。

其典型算法是广度优先搜索，具体算法是：
struct 类名 m_ar[可能结点数];
int h,r
main()
{
    h=0;r=1;
    while ((h<r)&&(r<可能结点数))
    {
        if (判断每一种可能性，如果某一种操作符合要求)
        {
            将m_ar[h]操作后记录于m_ar[r];
            如果和目标一样，输出结果并中止程序;
            r=r+1;
        }
        h=h+1;
    }
    表示没有结果。
}

***********************************
是否可解的判断
我知道什么样的情况有解,什么情况没解.
函数f(s)表示s前比s小的数字的数目.
例如:
|1 3 4|
|2 8 6|
|5 7 |
表示成:
|1 3 4|2 8 6|5 7 X| 则f(7)=6, f(5)=4,f(6)=4,f(8)=4,f(2)=1,
f(4)=2,f(3)=1,f(1)=0
当f(a8)+f(a7)+……+f(a1)为偶数时才能重排成
所以嘛,上面那个有解的.
下面我就来证明一下.

 

设任意一种情况:
|a1 a2 a3|
|a4 a5 a6|
|a7 a8 X | (X表示空格)

将之放在一行上: |a1 a2 a3|a4 a5 a6|a7 a8 X |
数字的上下移动可以相对于是空格的上下移动.
所以我们只要讨论X的移动了:

假设函数f(s)表示s前比s小的数字的数目.
例如:|1 3 4|2 8 6|5 7 X| 则f(7)=6, f(5)=4, f(8)=4,……

对于X在同一行中的移动，f(a8)+f(a7)+……+f(a1)大小不变(*1)
如：|a1 a2 a3|a4 a5 a6|a7 a8 X |=>|a1 a2 a3|a4 a5 a6|a7 X a8|

对于X在列中移动是，我们不妨设X与a6对换(即a6下移一格)
则数列变为|a1 a2 a3|a4 a5 X|a7 a8 a6|,可能引起变化的f(s)只有f(a6),f(a7),f(a8)
讨论：有4种情况1) a6<a7, a6<a8
f(a8) 减小1
f(a7) 减小1
f(a6) 不变
所以f(a8)+f(a7)+……+f(a1)奇偶性不变.
2) a6<a7, a6>a8
f(a8) 不变
f(a7) 减小1
f(a6) 增大1
所以f(a8)+f(a7)+……+f(a1)奇偶性不变.
3) a6>a7, a6>a8
f(a8) 不变
f(a7) 不变
f(a6) 增大2
所以f(a8)+f(a7)+……+f(a1)奇偶性不变.
3) a6>a7, a6<a8
f(a8) 减小1
f(a7) 不变
f(a6) 增大1
所以f(a8)+f(a7)+……+f(a1)奇偶性不变.

这样，再将a3下移一格则|a1 a2 a3|a4 a5 X|a7 a8 a6|=>|a1 a2 X|a4 a5 a3|a7 a8 a6|
则同样，对可能变化的f(a3),f(a4),f(a5)讨论，情况一上面完全一样。

其它情况都如此:
如：|a1 X a3|a4 a5 a6|a7 a8 a2|=>|a1 a5 a3|a4 X a6|a7 a8 a2|
就f(a3),f(a4),f(a5)变化.

结论：因为对于|1 2 3|4 5 6| 7 8 X|, f(8)+f(7)+……+f(1)=28, 是偶数，
所以当f(a8)+f(a7)+……+f(a1)为偶数时才能重排成|1 2 3|4 5 6| 7 8 X|成功.

*/
#include <stdio.h>
#include <conio.h>
#include <string.h>

typedef unsigned long long  UINT64;
typedef struct
{
    char    x;                  //位置x和位置y上的数字换位
    char    y;                  //其中x是0所在的位置
} EP_MOVE;

#define SIZE        3           //8数码问题，理论上本程序也可解决15数码问题，
#define NUM         SIZE * SIZE //但move_gen需要做很多修改，输入初始和结束状态的部分和check_input也要修改
#define MAX_NODE    1000000
#define MAX_DEP     100

#define XCHG(a, b)  { a=a + b; b=a - b; a=a - b; }
#define TRANS(a, b) { long    iii; (b)=0; for(iii=0; iii < NUM; iii++) (b)=((b) << 4) + a[iii]; }   //将数组a转换为一个64位的整数b
#define RTRANS(a, b) /
    { /
        long    iii; /
        UINT64  ttt=(a); /
        for(iii=NUM - 1; iii >= 0; iii--) /
        { /
            b[iii]=ttt & 0xf; /
            ttt>>=4; /
        } /
    }   //将一个64位整数a转换为数组b

//
typedef struct  EP_NODE_Tag
{
    UINT64              v;  //保存状态，每个数字占4个二进制位，可解决16数码问题
    struct EP_NODE_Tag  *prev;  //父节点