线性代数Lec03：矩阵乘法和逆

一 矩阵乘法

矩阵乘法可以有多种方法解释
假设矩阵$A_{m*n}*B_{n*p}=C_{m*p}$

1. 传统rows(A)*cols(B)

对于矩阵$C_{34}$求解方式如下：

$$C_{34}=A_{31}B_{14}+A_{32}B_{24}+....+A_{3n}B_{n4}$$
整理为：
$$C_{34}=\sum_{k=1}^{n}{A_{3k}B_{k4}}$$

2. A*cols(B)

对于$C$中的每一列都可以看作由$A$中各列的线性组合，$B$表示如何组合；
将$B$视为多个列排在一起，抽取$B$中每一列，$A$乘以该列得到$C$中对应的列。
拆开来看即为：

$$A_{mn}B_{n1}=C_{m1}$$

3. rows(A)*B

同理，$C$中的行视为$B$中各行的线性组合。

取$A$中某一行，乘以$B$，即得到$C$中对应的行。

4. sum of cols(A)*rows(B)

举例如下：

$$\left[ \begin{matrix} \ 2 & 7 \\ \ 3 & 8 \\ \ 4 & 9 \\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \ 1 & 6 \\ \ 0 & 0 \\ \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} \ 2 \\ \ 3 \\ \ 4 \\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \ 1 & 6 \\ \end{matrix} \right]+ \left[ \begin{matrix} \ 7 \\ \ 8 \\ \ 9 \\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \ 0 & 0 \\ \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} \ 2 & 12 \\ \ 3 & 18 \\ \ 4 & 24 \\ \end{matrix} \right]$$

5. 分块矩阵

$$\left[ \begin{matrix} \ A_1 & A_2 \\ \ A_3 & A_4 \\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \ B_1 & B_2 \\ \ B_3 & B_4 \\ \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} \ A_1B_1+A_2B_3 & ... \\ \ ... & ... \\ \end{matrix} \right]$$

二 矩阵求逆

2.1 可逆矩阵

对于方阵$A$，若矩阵可逆，那么左乘逆等于右乘逆；

$$A^{-1}A=I=AA^{-1}$$
若矩阵可逆，即非奇异矩阵。
求解下列矩阵的逆矩阵：

$$\left[ \begin{matrix} \ 1 & 3 \\ \ 2 & 7 \\ \end{matrix} \right]$$
应用Guass-Jordan（solve 2 equations at once）
将该矩阵与单位矩阵形成增广矩阵，通过消元法使得左侧该矩阵变为单位矩阵。

2.2 不可逆矩阵

不可逆矩阵，奇异矩阵；

Q1: 不使用行列式，思考为什么不可逆矩阵没有可逆解；

给定矩阵：

$$\left[ \begin{matrix} \ 1 & 3 \\ \ 2 & 6 \\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \ a & c \\ \ b & d \\ \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} \ 1 & 0 \\ \ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right]$$
思考矩阵乘法可以视为$A$中各列的线性组合，因此对于$C$中的列也应该保持变量之间的比例关系，而不是1，0.

Q2: 什么非零向量能使$Ax=0$

$$\left[ \begin{matrix} \ 1 & 3 \\ \ 2 & 6 \\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \ x_1 \\ \ x_2 \\ \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} \ 0 \\ \ 0 \\ \end{matrix} \right]$$
整理为：
$$x_{1} \left[ \begin{matrix} \ 1 \\ \ 2 \\ \end{matrix} \right]+ x_{2} \left[ \begin{matrix} \ 3 \\ \ 6 \\ \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} \ 0 \\ \ 0 \\ \end{matrix} \right]$$
即可得到：
$$x_1+3x_2=0$$
因此可以发现不可逆矩阵各列之间存在线性组合，通过非零向量可以得到零向量。