<think>
我们面对的问题是：将n
条线段拼接成m
条多段折线（可能有多
条折线，且折线可能包含多个
线段）
注意：折线是由连续
线段组成的，且折线之间是独立的（即折线之间没有公共边）
核心挑战：
1.
线段是无序的，我们需要将它们分组并排序，使得每组
线段构成一
条折线。
2. 一
条折线由一组有序的
线段组成，相邻
线段共享一个端点。
3. 最终要形成m
条折线（m可能小于n，因为一
条折线可能由多
条线段组成）
算法思路：
步骤1：构建图模型
- 将每个
线段视为一
条边，
线段的两个端点视为顶点。
- 使用邻接表来存储每个顶点连接的边（这里存储的是相邻的顶点，以及通过哪
条边连接，但这里我们只需要知道连接关系即可）
步骤2：识别端点
- 在折线中，端点（非公共顶点）的度数为1（如果折线是开放的），而中间点的度数为2。
- 但是，如果折线是闭合的，那么就没有度数为1的顶点（即环），此时我们可以选择任意一个点作为起点（但为了区分不同的环，我们需要独立处理）。
步骤3：构建折线（多段折线意味着可能有多个连通分量，且每个连通分量是一
条折线）
- 我们需要将图分解为多个连通分量，每个连通分量对应一
条折线（或者多
条？注意，折线应该是简单路径或环）
- 注意：一个连通分量必须是一
条简单路径（开放折线）或者一个简单环（闭合折线）。如果连通分量有分支（比如T型交叉），则无法形成一
条折线。因此，我们需要确保每个连通分量的顶点度数只能是1或2（对于开放折线）或者全部为2（闭合折线）。
步骤4：遍历每个连通分量，构建折线
- 对于每个连通分量，从度数为1的顶点开始（如果有的话）进行深度优先搜索（DFS）或直接遍历，直到遇到另一个度数为1的顶点（开放折线）或者回到起点（闭合折线）。
- 如果连通分量中所有顶点的度数都是2，那么它是一个环，我们可以从任意点开始，最后回到起点。
步骤5：处理分支情况（不允许分支）
- 如果我们在连通分量中遇到度数大于2的顶点，说明有分支，此时无法形成一
条折线。根据问题，我们可能需要将分支拆分成多
条折线？或者报错？这里需要明确：题目要求拼接成m
条折线，且折线是简单路径（无分支）。因此，如果存在分支，我们需要将其拆分成多
条折线（每
条折线是简单路径）。
但是，问题要求将n
条线段拼接成m
条多段折线，所以允许存在多
条折线，但每
条折线是简单路径（无分支）。因此，我们需要将图分解成多
条简单路径（或环）。
具体算法步骤：
1. 构建图：用一个邻接表（如`map<Point, vector<Point>>`）记录每个点相邻的点（以及通过哪
条边，但这里我们只需要相邻点）。同时，我们需要记录每
条边是否被访问过（避免重复使用
线段）。
2. 统计每个顶点的度数（即相邻点的个数）。
3. 遍历所有顶点，将度数为奇数的顶点（度数为1的顶点）作为开放折线的端点。注意：在折线图中，开放折线有两个度数为1的端点，闭合折线没有度数为1的端点。而且，一个连通分量中只能有0个或2个度数为1的顶点。
4. 从每个度数为1的顶点出发进行DFS，遍历过程中将访问的边标记为已访问，并将点按顺序加入当前折线的点序列。注意：在DFS过程中，我们只能选择未访问的边，并且每一步只能选择一
条未访问边（因为每个中间点的度数最多为2，选择一
条未访问边后，另一
条边就是下一个）。
5. 对于没有度数为1的顶点的连通分量（即环），我们从一个顶点开始DFS，直到回到起点。
6. 在DFS过程中，我们记录折线的点序列（按顺序）。
7. 当我们处理完所有连通分量后，我们就得到了m
条折线（每个连通分量对应一
条折线）。
但是，这里有一个关键点：一个连通分量如果包含多个环或者多个路径？实际上，我们的图是由
线段组成的，每个连通分量应该是简单路径或简单环。所以，每个连通分量只能形成一
条折线。
然而，如果图中存在多个连通分量，那么就会形成多
条折线。
8. 最后，我们得到m
条折线（m就是连通分量的个数）。
但是，注意：如果我们在构建图时，一个连通分量内出现了分支（即某个顶点度数大于2），那么我们需要将这个连通分量拆分成多
条折线。拆分方法：从每个度数为1的顶点出发进行DFS，直到遇到另一个度数为1的顶点或者死胡同（中间点）？实际上，在非退化情况下，一个连通分量中如果有k个度数为1的顶点，那么它应该被拆分成k/2
条折线（因为每
条折线需要两个端点）。但是，也有可能存在环（没有度数为1的顶点），那么环就是一
条折线（闭合折线）。
然而，问题在于：如果有一个连通分量，其中包含一个分支点（度数为3），那么它至少需要三
条折线（因为有三
条路径，每
条路径从分支点到一个端点）？但这样会使得折线之间共享顶点（分支点）？但题目要求折线是独立的多段线，所以折线之间不应该共享
线段，但可以共享顶点？题目没有明确，但通常折线是独立的，即不共享任何
线段，顶点共享是允许的？但这里我们拼接的折线是由给定
线段组成的，每
条线段只能属于一
条折线。
因此，我们需要确保每
条边只被使用一次。在DFS遍历中，我们访问过的边不再使用，所以每
条线段只会被一
条折线使用。
所以，对于有分支的连通分量，我们可以这样处理：
- 从每个度数为1的顶点出发，进行DFS（使用未访问的边），直到遇到另一个度数为1的顶点（或者环？）。
- 但是，分支点（度数为3）在第一次经过后，度数会减少（因为访问了一
条边），那么剩下的度数就是2，下次再经过时，剩下的度数就是1（但是我们在DFS中会记录访问，所以不会重复使用边）。
然而，一个度数为3的顶点，在DFS过程中，我们可能需要多次经过它？但是每次只能使用一
条边，所以实际上，我们可以从不同的度数为1的顶点出发，经过这个分支点，然后继续到其他端点。
因此，算法步骤修正：
1. 构建图，并记录每个顶点的度数（初始度数）。
2. 用一个全局的边访问标记（可以用一个set来存储已经访问的边，边用有序点对表示）。
3. 然后，遍历所有顶点，从度数为1的顶点开始进行DFS（如果该顶点还有未访问的边）。同时，也要考虑环：当没有度数为1的顶点时，从度数大于0的顶点开始（环）。
4. 在DFS中，从当前顶点u，查看它的所有邻接点v，对于边(u,v)（有序表示）如果未访问，则访问该边，并将v加入当前折线点序列，然后递归（或迭代）进入v。注意：在访问边(u,v)后，我们需要在图中“移除”这
条边（即标记为已访问，并且减少u和v的度数？或者不减少度数，只标记边已访问，然后选择下一个邻接点时跳过已访问边）。实际上，我们只需要通过边的访问标记来控制。
5. 在DFS过程中，当当前顶点没有未访问的边（或者只有一
条边，但已经被访问）时，折线结束。
6. 注意：在环的情况下，我们从某个顶点开始，最后会回到这个顶点，从而形成闭合折线。
7. 重复步骤3和4，直到所有边都被访问。
这样，我们就能将整个图分解为若干
条折线（每
条折线是一
条路径或一个环），折线的数量m就是DFS的次数（即从
多少个起点开始DFS）。
但是，环的情况：环没有度数为1的顶点，所以我们需要单独处理：在遍历完所有度数为1的顶点后，再处理环（即剩余的边）。
具体实现：
1. 数据结构：
map<Point, vector<Point>> graph; // 邻接表（无向图）
set<pair<Point, Point>> visitedEdges; // 已访问的边（用有序对表示）
2. 构建图：
for each segment (p1, p2):
graph[p1].push_back(p2);
graph[p2].push_back(p1);
3. 创建一个结果列表：vector<vector<Point>> polylines; // 存储所有折线的点序列
4. 遍历所有顶点：
- 首先，处理开放折线：找到度数为奇数的顶点（实际只需要度数为1）？但注意，在DFS过程中，度数会变化（通过访问标记来避免重复访问，但实际度数我们并不修改，而是通过边的访问标记来控制）。所以，我们不需要修改度数，而是检查当前顶点是否还有未访问的边。但是，对于初始的度数为1的顶点，我们优先处理（因为它们是端点）。
- 但是，随着DFS进行，顶点的“剩余未访问边”会减少。我们可以用当前顶点的邻接边中未访问的边数量来判断。
5. 算法：
for (每个顶点) {
// 优先处理度数为1的顶点（初始度数为1，且还有未访问边）? 注意：在DFS过程中，一个顶点的未访问边会减少，所以初始度数为1的顶点在访问一
条边后就变成0了。
// 实际上，我们不需要初始度数，只需要在遍历时检查该顶点是否还有未访问的边。
//
条件：当前顶点的邻接边中，有未访问边的数量为1（当前顶点的未访问边数）且当前顶点未被完全访问（即还有未访问边），那么它就可以作为开放折线的端点。
// 但是，为了避免重复，我们只从度数为1的端点开始（初始度数为1）？不，因为DFS过程中，一个顶点的未访问边会变化。
// 因此，我们改为：如果当前顶点的未访问边数为1，则作为开放折线的起点。
}
但是，标准做法是：
a. 先找出所有度数为奇数的顶点（在初始图中）。注意：在无向图中，度数为奇数的顶点个数一定是偶数。对于开放折线，两个端点度数为奇数（1），中间点度数为偶数（2）。对于闭合折线，所有点度数为偶数（2）。
b. 然后，从每个度数为奇数的顶点开始DFS（如果还有未访问边），但是注意，每
条折线需要两个度数为奇数的顶点（起点和终点），所以当我们从一个度数为奇数的顶点开始DFS到另一个度数为奇数的顶点时，这两个奇度点就变成偶度（实际上是减少1，但用边的访问标记来实现，我们并不改变度数，只是用边的访问标记来避免重复）。
然而，我们并不需要初始度数，而是用边的访问标记来驱动DFS。
更通用的算法（欧拉路径的变种）：
- 我们想要分解图成若干
条欧拉路径（开放折线）和欧拉回路（闭合折线）。
- 欧拉路径存在的
条件：连通图（或者连通分量）中奇度顶点个数为0或2。
- 但我们的图可能不连通，所以每个连通分量独立处理。
算法步骤（针对一个连通分量）：
1. 如果连通分量内有奇度顶点（奇度顶点个数k>0），那么一定有k个奇度顶点（k为偶数）。则我们可以将图分解为k/2
条欧拉路径（每
条欧拉路径从一个奇度顶点到另一个奇度顶点）。
2. 如果没有奇度顶点，那么存在欧拉回路（一
条闭合折线）。
但是，我们如何分解？我们可以这样：
- 每次从一个奇度顶点开始DFS，直到另一个奇度顶点（如果还有未访问边，但注意，在DFS过程中，我们只走未访问边，并且每次访问一
条边，就将两个顶点的度数减2？不，实际是标记边已访问，然后这两个顶点的未访问边数减少1）。
- 当我们走完一
条路径后，这两个奇度顶点就变成了偶度顶点（因为各减少了一
条边）。然后我们再找下一个奇度顶点对。
然而，这个分解算法比较复杂。我们可以使用Hierholzer算法的变种。
由于问题规模可能不大（n<=10000
条线段），我们可以采用简单的DFS遍历，但需要记录路径。
具体步骤（整个图）：
vector<vector<Point>> result; // 存储所有折线
while (!visitedEdges contains all edges) {
// 找到一个起点：优先找奇度顶点（在初始图中）且还有未访问边？但初始度数我们可以保存，但我们在DFS过程中并不改变度数，而是通过边的访问标记来避免重复。
// 如何快速知道当前顶点的未访问边数？我们可以通过graph[u]的大小减去已访问的与u相连的边数？这样效率低。
改进：我们用一个栈来实现DFS？或者递归DFS。
Point start;
bool foundStart = false;
// 先找还有未访问边的顶点（任意一个都可以），但优先奇度顶点（初始度数）
// 如果初始度数中奇度顶点还有未访问边，则选择它；否则，任选一个还有未访问边的顶点（环的情况）
// 我们可以用一个队列存储初始的奇度顶点（但需要动态更新奇度顶点的剩余未访问边数？）
另一种方法：先遍历所有顶点，如果该顶点的未访问边数>0，则：
if (该顶点在初始图中是奇度顶点) 则优先选（但只选一次？）或者，我们维护一个当前奇度顶点集合（初始时是奇度的顶点，然后每次访问一
条边，两个顶点的当前度数减1，如果减到0就移除，如果变成偶数就移除？）
简化：不维护动态度数，而是每次需要起点时，遍历所有顶点找未访问边数>0的顶点，并且是奇度（初始）的顶点。如果找不到奇度顶点，就找任意一个未访问边数>0的顶点。
// 开始DFS
vector<Point> polyline;
Point current = start;
polyline.push_back(current);
while (true) {
Point next = None;
// 从current的邻接点中找一个未访问的边
for (Point neighbor : graph[current]) {
auto edge = makeOrderedPair(current, neighbor); // 确保有序
if (visitedEdges.find(edge) == visitedEdges.end()) {
next = neighbor;
// 标记边已访问
visitedEdges.insert(edge);
break; // 这里我们只取一个，因为折线是简单路径（没有分支），所以一次只走一
条边
}
}
if (next == None) {
break; // 死胡同，结束
}
polyline.push_back(next);
current = next;
}
result.push_back(polyline);
}
但是，这样每次只取一
条边，然后移动，可能会忽略分支？因为我们在一个顶点有多
条未访问边时，只取一
条边（然后break了），这样剩下的边会在后续的DFS中处理（因为我们在外循环中会重新找起点）。但这样会导致一
条折线被拆成多
条？实际上，我们希望在一个连通分量中，尽量形成一
条折线（如果是欧拉路径的话），但如果有分支，则必须拆开。
然而，上面的DFS每次只找一
条路径，然后标记边已访问。当一
条路径结束后，剩下的边会形成新的路径。这样，一个连通分量可能会被拆成多
条折线（这正是我们需要的：分解成多
条简单路径）。
因此，上述算法可以工作。但我们需要确定起点：优先使用初始度数中的奇度顶点作为起点。
具体实现起点选择：
// 维护一个初始度数表：map<Point, int> initDegree;
// 在构建图时，每个点的度数就是graph[point].size()（初始）
// 然后，维护一个候选起点集合：优先选择initDegree[point]为奇数的点，并且该点还有未访问边（即graph[point]中还有未访问的边）？但是，随着边的访问，一个点的当前未访问边数在减少，但initDegree不变。
// 我们可以在全局维护一个集合：set<Point> candidateStarts; 初始时包含所有奇度顶点（初始度数为奇数）。
// 然后，每次选择起点时，从candidateStarts中取一个点（如果该点还有未访问边）。如果candidateStarts为空，则从任意一个还有未访问边的点开始。
// 注意：当我们访问一
条边后，这
条边连接的两个点（u,v）的当前未访问边数减少，如果某个点（比如u）原本是奇度顶点，访问一
条边后，剩余未访问边数为偶数（但初始度数不变），但我们不再将它作为候选起点？实际上，在访问一
条边后，这个点的剩余未访问边数可能变为偶数，那么它就不再是奇度（当前意义下）？但我们只关心初始度数。
// 但是，欧拉路径要求起点是奇度顶点（初始），所以我们在初始时确定的奇度顶点，即使经过访问后剩余边为偶数，我们仍然需要优先使用它作为起点？因为它在整个连通分量中是一个端点。
// 所以，算法：
set<Point> oddVertices; // 初始度数为奇数的点
for (auto& node : graph) {
if (node.second.size() % 2 != 0) {
oddVertices.insert(node.first);
}
}
// 然后，在循环中：
while (!visitedEdges.size() == totalEdges) {
Point start = findStart(oddVertices, graph, visitedEdges);
if (start is not found) {
// 从任意一个还有未访问边的点开始
for (auto& node : graph) {
Point p = node.first;
if (hasUnvisitedEdges(p, graph, visitedEdges)) {
start = p;
break;
}
}
}
// 如果还是没找到，说明没有边了
if (start not found) break;
vector<Point> polyline;
DFS(start, polyline, graph, visitedEdges); // 注意：这里的DFS是迭代的（避免递归过深）
result.push_back(polyline);
// 注意：在DFS过程中，我们每次只取一
条边（即每一步只扩展一个点），但上面的DFS我们写的是迭代的（每一步取一个邻接点，然后移动到那个点）
}
// 辅助函数：hasUnvisitedEdges(Point p, graph, visitedEdges)
bool hasUnvisitedEdges(Point p) {
for (Point neighbor : graph[p]) {
auto edge = makeOrderedPair(p, neighbor);
if (visitedEdges.find(edge) == visitedEdges.end()) {
return true;
}
}
return false;
}
// 找起点：优先在oddVertices中找一个还有未访问边的点
Point findStart(set<Point>& oddVertices, ...) {
for (Point p : oddVertices) {
if (hasUnvisitedEdges(p)) {
return p;
}
}
return Point(None); // 没找到
}
// 注意：在DFS过程中，我们可能会遇到分支点（有多个未访问边），但我们的DFS每次只取一
条边（然后break），然后DFS会继续沿着这
条边走到头，形成一
条折线。剩下的边会在后续的循环中处理（从同一个分支点的剩余边开始，但此时这个分支点可能不再是奇度顶点（初始）？所以不会作为起点？没关系，因为剩下的边会形成新的折线，我们会在后续的循环中从该分支点（如果有未访问边）开始，但前提是我们在后续循环中会检查所有点（包括非奇度顶点）的未访问边。
但是，上面的DFS函数（迭代版）我们写的是：
vector<Point> polyline;
Point current = start;
polyline.push_back(current);
while (true) {
Point next = None;
for (Point neighbor : graph[current]) {
edge = makeOrderedPair(current, neighbor);
if (visitedEdges not contain edge) {
next = neighbor;
visitedEdges.insert(edge);
break; // 注意：这里break了，所以每次只取一
条边
}
}
if (next == None) break;
polyline.push_back(next);
current = next;
}
这样，从一个起点开始，我们沿着一
条路径一直走，直到走不动（形成一
条折线）。这样，即使一个顶点有多个分支，我们也只走其中一
条，剩下的分支会在后续的循环中处理（因为该顶点还有未访问边，所以后续会作为起点（如果它是初始奇度顶点）或者作为非奇度顶点被后续循环作为起点（当没有奇度顶点时））。
因此，这个算法能够将一个有分支的连通分量分解成多
条折线（每
条折线是简单路径）。
但是，这样分解得到的折线可能是非常短的（比如只有一
条线段），但题目要求是折线（至少由一
条线段组成，所以一
条线段也可以是一
条折线）。
最后，我们得到m
条折线，m就是result.size()。
注意：图可能有多个连通分量，但上述循环会处理所有边（visitedEdges.size()等于总边数时停止），所以会处理所有连通分量。
算法复杂度：O(V+E)，因为每
条边只访问一次，每个顶点被访问的次数与其度数成正比。
示例验证：
考虑三
条线段：AB, BC, BD，
构成一个分支（星形），其中A、C、D是端点（度数为1），B是分支点（度数为3）。
初始奇度顶点：A、C、D、B（度数3也是奇数）？不对，度数为奇数的顶点有4个（A,C,D,B）？因为无向图中度数之和是偶数，所以奇度顶点个数为偶数。这里四个奇度顶点。
算法：
第一次：从奇度顶点集合中选一个（比如A），然后DFS：A->B（访问边AB），然后从B出发，有两
条未访问边（BC,BD），我们选择一
条（比如BC），标记BC，然后到C（此时，折线为A->B->C）。
然后，折线结束（因为C没有未访问边了？不对，C只有一
条边（BC）已经被访问，所以结束）。此时，折线1：A-B-C。
剩余边：BD。
第二次：从奇度顶点集合中选一个（D），然后DFS：D->B，但B现在还有未访问边吗？B的初始边有AB,BC,BD，现在AB和BC已访问，所以BD未访问，因此DFS：D->B（标记BD），然后从B出发，没有未访问边（因为AB,BC,BD都已访问），所以折线结束：D->B。
这样我们得到两
条折线：A-B-C 和 D-B。
但是，我们也可以得到A-B-D和C-B？这取决于DFS时选择边的顺序。但无论如何，我们都能得到两
条折线。
注意：折线的起点和终点都是奇度顶点（初始），且每
条折线会消耗两个奇度顶点（起点和终点）。所以，奇度顶点个数为4，则分解为2
条折线。
因此，算法正确。
代码实现：
#include <iostream>
#include <vector>
#include <map>
#include <set>
#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <unordered_set>
#include <stack>
using namespace std;
struct Point {
double x, y;
bool operator<(const Point& other) const {
return x < other.x || (x == other.x && y < other.y);
}
bool operator==(const Point& other) const {
return x == other.x && y == other.y;
}
// 用于哈希
struct Hash {
size_t operator()(const Point& p) const {
return hash<double>()(p.x) ^ hash<double>()(p.y);
}
};
};
// 创建有序点对
pair<Point, Point> makeOrderedPair(const Point& p1, const Point& p2) {
if (p1 < p2) {
return {p1, p2};
} else {
return {p2, p1};
}
}
// 折线集合类
class PolylineAssembly {
public:
vector<vector<Point>> assemble(vector<pair<Point, Point>>& segments) {
// 构建图
map<Point, vector<Point>> graph;
set<Point> oddVertices; // 初始度数为奇数的顶点
int totalEdges = segments.size();
// 先统计度数
map<Point, int> degree;
for (auto& seg : segments) {
degree[seg.first]++;
degree[seg.second]++;
graph[seg.first].push_back(seg.second);
graph[seg.second].push_back(seg.first);
}
// 找出奇度顶点
for (auto& d : degree) {
if (d.second % 2 != 0) {
oddVertices.insert(d.first);
}
}
// 已访问边的集合
set<pair<Point, Point>> visitedEdges;
vector<vector<Point>> result;
// 循环直到所有边被访问
while (visitedEdges.size() < totalEdges) {
Point start;
bool foundStart = false;
// 优先从奇度顶点中选一个还有未访问边的
for (auto it = oddVertices.begin(); it != oddVertices.end(); ) {
Point p = *it;
if (!hasUnvisitedEdges(p, graph, visitedEdges)) {
// 如果没有未访问边，从oddVertices移除
it = oddVertices.erase(it);
} else {
start = p;
foundStart = true;
break;
}
}
if (!foundStart) {
// 没有奇度顶点有未访问边，则找任意一个还有未访问边的顶点
for (auto& node : graph) {
Point p = node.first;
if (hasUnvisitedEdges(p, graph, visitedEdges)) {
start = p;
foundStart = true;
break;
}
}
}
if (!foundStart) {
// 没有找到起点，说明剩下的边不存在（理论上不会发生，因为visitedEdges.size()<totalEdges）
break;
}
// 从起点开始DFS（迭代，非递归）
vector<Point> polyline;
Point current = start;
polyline.push_back(current);
while (true) {
Point next = Point{-1, -1}; // 无效点，用于标记未找到
for (Point neighbor : graph[current]) {
auto edge = makeOrderedPair(current, neighbor);
if (visitedEdges.find(edge) == visitedEdges.end()) {
next = neighbor;
visitedEdges.insert(edge);
break; // 只取一
条边
}
}
if (next.x == -1 && next.y == -1) {
// 没有未访问边，结束
break;
}
polyline.push_back(next);
current = next;
}
result.push_back(polyline);
}
return result;
}
private:
// 判断点p是否还有未访问的边
bool hasUnvisitedEdges(Point p, map<Point, vector<Point>>& graph, set<pair<Point, Point>>& visitedEdges) {
for (Point neighbor : graph[p]) {
auto edge = makeOrderedPair(p, neighbor);
if (visitedEdges.find(edge) == visitedEdges.end()) {
return true;
}
}
return false;
}
};
注意：上面的代码中，我们使用了一个临时结构，并且在DFS中使用了break（每次只取一
条边）。这样保证了每次DFS得到一
条简单路径（或环）。
但是，有可能出现环吗？在环的情况下，我们从一个点开始，最后会回到这个点吗？注意，我们的DFS每次只取一
条边（并且break了循环），所以不会回到起点（除非只有一
条边
组成的环？但一
条边
组成的环在无向图中就是一
条线段，我们把它当作开放折线？实际上，一
条线段就是一
条折线（两个端点））。
对于环（闭合折线）的情况，我们从一个顶点开始（这个顶点初始度数为偶数，所以不会在oddVertices中），然后DFS会走一圈回到起点吗？注意，我们的DFS在每一步只取一
条边（然后break），所以当回到起点时，起点已经访问过（但边的访问标记是独立的），所以当我们在环上走，最后回到起点时，起点处的边都已经被访问了，所以不会重复。
但是，我们如何形成闭合折线的点序列？比如：A->B->C->A，我们的DFS过程：
start=A（非奇度顶点）
polyline: [A]
current=A，找到一
条边A-B（未访问），标记A-B，然后next=B -> polyline: [A,B]
current=B，找到B的邻接点：A（已访问边A-B）? 不对，边A-B已经标记，但B还有边B-C（未访问），所以取B-C -> polyline: [A,B,C]
current=C，找到C的邻接点：B（已访问B-C），还有C-A（未访问），所以取C-A -> polyline: [A,B,C,A]
current=A，然后A的邻接点：B（边A-B已访问），C（边A-C已访问），所以结束。
这样，我们就得到了一个闭合折线（点序列：A,B,C,A）。但通常，折线是闭合的，我们可以移除最后一个点（重复）？或者保留？但题目要求形成点序列，保留也可以（表示闭合）。
因此，算法可以处理闭合折线。
但是，注意：在环中，我们从一个点开始，最后又回到这个点，所以起点和终点相同。在开放折线中，起点和终点不同。
所以，上述代码可以工作。
测试示例：
1.
三角形（开放）：两
条线段AB, BC -> 折线：A->B->C
2.
三角形（闭合）：三
条线段AB,BC,CA -> 折线：A->B->C->A
3. 星形（分支）：三
条线段AB, BC, BD -> 折线：A->B->C 和 D->B
注意：在星形示例中，我们得到两
条折线：A-B-C 和 D-B。但也可以得到A-B-D和C-B，这取决于遍历顺序（邻接表的顺序）。但这是可以接受的。
最后，我们返回折线集合（每个折线是一个点序列）。
问题：题目要求拼接成m
条折线，m是用户给定的吗？不是，题目是“将n
条线段拼接为m
条多段折线”，这里m是由
线段之间的连接关系决定的（即分解出的折线
条数）。所以，我们只需要输出这些折线即可。
如果用户要求m
条折线（比如m=2，而实际分解得到3
条），那么我们需要合并折线？但题目没有这个要求。所以我们输出实际分解的折线。
因此，完整代码如上。
注意：在实际应用中，点坐标可能重复，我们使用点的坐标判断相等（所以需要重载<和==，以及哈希函数）。
由于图可能很大，我们使用迭代DFS（非递归）避免栈溢出。
另外，我们使用map<Point, vector<Point>>来存储图，所以点必须可比较（我们重载了<）。
如果点坐标是整数，也可以用double，但注意浮点精度问题（在比较时）。这里假设点的坐标可以用精确的浮点数表示。
如果坐标有浮点误差，需要自定义比较函数（比如用eps），但题目没有说明，我们假设坐标是精确的。
上述代码已经考虑了所有情况。
输出：折线集合，每
条折线是一个点序列。
注意：折线中的点序列是连续的，相邻两点之间有一
条线段。
我们可以计算每
条折线的长度（如之前），但本题不要求。
总结：这个算法将
线段集合分解成多
条折线（简单路径或环），每
条折线是连续的，且折线之间不共享边（但可能共享顶点）。
返回的折线数量m就是result.size()。
现在，我们可以根据这个算法编写代码。
但是，注意：
线段集合可能不连通，所以分解出的折线
条数等于连通分量分解出的欧拉路径（和回路）的数量。
由于时间有限，代码可能还需要调试，但思路正确。
相关问题：
1. 如何优化折线的存储结构？
2. 如何处理大型
线段集合（性能优化）？
3. 如果
线段集合无法完全拼接（比如有孤立点？），但
线段必须被使用（题目要求拼接所有
线段），所以我们的算法确保了所有
线段都被使用（visitedEdges.size()==totalEdges）。
4. 怎样检测无法拼接的情况（例如，有奇度顶点的连通分量中奇度顶点个数不是偶数）？但无向图的总度数一定为偶数，所以奇度顶点个数一定为偶数，因此不存在无法拼接的情况（每个连通分量都可以分解为若干
条欧拉路径和欧拉回路）。
因此，算法具有通用性。
请根据需要调整代码细节（如浮点精度、性能优化等）。
</think>### 将n
条线段拼接为m
条多段折线的算法
#### 算法思路
该算法通过图论模型处理
线段拼接问题，核心是将
线段视为无向图的边，端点视为顶点。通过DFS遍历连通分量，优先从奇度顶点（开放折线端点）开始构建折线路径，最终形成m
条独立折线。关键步骤如下：
1. **建图与度统计**
构建邻接表`graph: Map<Point, List<Point>>`存储点邻接关系，同时统计每个点的初始度数（邻接点数）：
```cpp
map<Point, vector<Point>> graph;
map<Point, int> degree;
for (auto& seg : segments) {
graph[seg.first].push_back(seg.second);
graph[seg.second].push_back(seg.first);
degree[seg.first]++;
degree[seg.second]++;
}
```
2. **识别奇度顶点**
开放折线的端点度数为奇数，闭合折线的点度数均为偶数：
```cpp
set<Point> oddVertices;
for (auto& d : degree) {
if (d.second % 2 != 0) {
oddVertices.insert(d.first);
}
}
```
3. **DFS构建折线路径**
优先从奇度顶点开始DFS，按序收集点形成折线：
```cpp
vector<vector<Point>> polylines;
set<pair<Point, Point>> visitedEdges;
while (visitedEdges.size() < segments.size()) {
Point start = findStart(oddVertices, graph, visitedEdges); // 优先选奇度点
vector<Point> polyline;
Point current = start;
polyline.push_back(current);
while (true) {
Point next = findUnvisitedNeighbor(current, graph, visitedEdges);
if (next not exist) break;
polyline.push_back(next);
current = next;
}
polylines.push_back(polyline);
}
return polylines;
```
4. **关键辅助函数**
- **查找未访问邻接点**：
```cpp
Point findUnvisitedNeighbor(Point p, graph, visitedEdges) {
for (Point neighbor : graph[p]) {
auto edge = makeOrderedPair(p, neighbor);
if (visitedEdges.find(edge) == visitedEdges.end()) {
visitedEdges.insert(edge);
return neighbor;
}
}
return InvalidPoint;
}
```
- **有序边表示**（避免重复）：
```cpp
pair<Point, Point> makeOrderedPair(Point a, Point b) {
return (a < b) ? make_pair(a, b) : make_pair(b, a);
}
```
#### 复杂度分析
| 步骤 | 时间复杂度 | 空间复杂度 |
|----------------|---------------|
本文介绍了一种算法，用于计算给定线段集合中能组成的不同三角形的数量。输入包括线段数量及各线段长度，通过排序和搜索技术，输出所有可能的三角形组合。
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