1.大O的定义
int cal(int n) {
int sum = 0;
int i = 1;
for (; i <= n; ++i){
sum = sum + i;
}
return sum;
}
第2、3行代码,每行执行一个unit_time时间,第4、5行都运行了n遍,所以需要 2* n * unit_time的执行时间 T(n) = (2n+2)*unit_time时间
int cal(int n) {
int sum = 0;
int i = 1;
int j = 1;
for (;i <= n; i++){
j = 1;
for (; j <= n; j++) {
sum = sum + i * j;
}
}
}
第2、3、4行代码,每行执行一个unit_time时间 3unit_time,第5、6行执行了n次,需要2nunit_time时间,第7、8行执行了 nn所以需要2nnunit_time的时间,所以T(n) = (2n * n+ 2n + 3) * unit_time
由上面的两段代码可以看出,所有代码的执行时间和每行代码的执行次数n成正比
所以 T(n) = O(f(n))
注:f(n)为每行代码执行次数总和
当n很大时,第一段代码执行时间T(n) = O(n), 第二段代码T(n) = O(n*n)
2.分析时间复杂度方法
- 只关注循环次数最多的一段代码
- 加法法则:总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度
- 乘法法则:嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积
3.常见的时间复杂度
-
O(1)
int i = 8; int j = 6; int sum = i + j;
代码的时间不随n的增长而增加,都记作O(1)
-
O(logn)、O(nlogn)
i = 1; while (i <= n) { i = i * 2; }
第三行代码的执行次数最多,每执行一次i * 2, 所以,我们需要求2^x = n中x的具体值。x = log2 n (以二为底n的对数),所以该代码的时间复杂度为 O(log2n),忽略对数的底即为O(logn)
-
O(m+n)、O(m*n)
int cal(int m, int n) {
int sum_1 = 0;
int i = 1;
for (; i < m; ++i) {
sum_1 = sum_1 + i;
}
int sum_2 = 0;
int j = 1;
for (; j < n; ++j) {
sum_2 = sum_2 + j;
}
return sum_1 + sum_2;
}
该代码片段存在两个数据规模m,n。我们并不能判断m,n的大小,所以时间复杂度为O(m+n)
- 非多项级时间复杂度 O(2^n)与 O(n!)
当n越来越大时,非多项级的时间复杂度会急剧增加,求解问题的执行时间会无限增长,所以非多项式的时间复杂度算法是非常低效的算法。
空间复杂度
void print(int n) {
int i = 0;
int[]a = new int[n];
for(i; i < n; ++i) {
a[i] = i * i;
}
for (i = n-1; i >=0; --i) {
print out a[i];
}
}
整段代码只有第3行代码申请了一个大小为n的int类型的数组,所以空间复杂度为O(n)
相对于时间复杂度来说,空间复杂度要简单,常见的空间复杂度有O(1), O(n), O(n^2),像O(logn)和O(nlogn)这样的对数复杂度,一般用不到