算法复习——图算法篇之广度优先搜索

算法复习——图算法篇之广度优先搜索

以下内容主要参考中国大学MOOC《算法设计与分析》，墙裂推荐希望入门算法的童鞋学习！

1. 问题背景

图的搜索

• 数组结构
  • 查询最大值：简单循环搜索所有元素，记录最大值
• 图结构
  • 查询相邻顶点：简单循环搜索各顶点关联的边
  • 查询可达顶点：简单循环搜索，不能找到全部可达顶点！

​ 因此，我们需要按照特定的次序搜索顶点，于是引出了两种搜索策略：广度优先搜索和深度优先搜索。深度优先搜索可参考算法复习——图算法篇之深度优先搜索。

2. 算法思想

• 队列
  • 先来先服务：队尾加入，队首离开
    • 加入队列，$Q.Enqueue()$
    • 离开队列，$Q.Dequeue()$
• 核心思想
  • 处理某顶点时，一次性发现其所有相邻顶点，未处理顶点加入等待队列
• 辅助数组
  • $color$表示顶点状态
    • $White$：白色顶点$u$尚未被发现，发现后直接入队
    • $Black$：黑色顶点$u$已被处理，无需再次入队
    • $Gray$：灰色顶点$u$已加入队列，无需再次入队
  • $pred$：顶点$u$由$pred[u]$发现
  • $dist$：顶点$u$距离源点$s$的距离

3. 广度优先树

• 辅助数组$pred[]$储存了一棵树，广度优先树$T=<V_T,E_T>$
• $V_T$为源点$s$可达的顶点结合， E T = { ( p r e d [ u ] , u ) : u ∈ V T } E_T=\{(pred[u], u):u \in V_T\} ET​={(pred[u],u):u∈VT​}

4. 伪代码

BFS(G, s)

输入：图$G$，源点$s$

输出：前驱数组$pred[]$，距离数组$dist[]$

新建一维数组color[1..|V|], pred[1..|V|], dist[1..|V|]
新建空队列Q
// 初始化
for u ∈ V do
	color[u] ← WHITE
	pred[u] ← NULL
	dist[u] ← ∞
end
color[s] ← GRAY
dist[s] ← 0
Q.Enqueue(s)
// 广度优先搜索
while 等待队列Q非空 do
	u ← Q.Dequeue()
	for v ∈ G.Adj[u] do
		if color[v] = WHITE then
			color[v] ← GRAY
			dist[v] ← dist[u] + 1
			pred[v] ← u
			Q.Enqueue(v)
		end
	end
	color[u] ← BLACK
end

​ 对于每个顶点$u$，搜索相邻顶点消耗时间$T_u=O(1+deg(u))$，总运行时间$T\le {\sum }_{u\in V}{T}_u={\sum }_{u\in V}O(1+deg(u))={\sum }_{u\in V}O(1)+{\sum }_{u\in V}O(deg(u))=O(|V|+|E|)$。

​ 所以，广度优先搜索的时间复杂度为$O(|V|+|E|)$，简记为$O(V+E)$。

5. 相关应用

5.1 最短路径

​ $dist[]$和$pred[]$数组记录了无权图从源点出发到各个点的最短路径。