279. Perfect Squares (完全平方数)

本文介绍了一种高效算法,用于确定一个正整数最少可以由多少个完全平方数相加得到。通过数学简化和动态规划两种方法实现,其中涉及四平方和定理的应用。

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Given a positive integer n, find the least number of perfect square numbers (for example, 1, 4, 9, 16, …) which sum to n.

For example, given n = 12, return 3 because 12 = 4 + 4 + 4; given n = 13, return 2 because 13 = 4 + 9.

Credits:
Special thanks to @jianchao.li.fighter for adding this problem and creating all test cases.

又是超哥一个人辛苦的更新题目,一个人托起LeetCode免费题的一片天空啊,赞一个~ 这道题说是给我们一个正整数,求它最少能由几个完全平方数组成。这道题是考察四平方和定理,to be honest, 这是我第一次听说这个定理,天啦撸,我的数学是语文老师教的么?! 闲话不多扯,回来做题。先来看第一种很高效的方法,根据四平方和定理,任意一个正整数均可表示为4个整数的平方和,其实是可以表示为4个以内的平方数之和,那么就是说返回结果只有1,2,3或4其中的一个,首先我们将数字化简一下,由于一个数如果含有因子4,那么我们可以把4都去掉,并不影响结果,比如2和8,3和12等等,返回的结果都相同,读者可自行举更多的栗子。还有一个可以化简的地方就是,如果一个数除以8余7的话,那么肯定是由4个完全平方数组成,这里就不证明了,因为我也不会证明,读者可自行举例验证。那么做完两步后,一个很大的数有可能就会变得很小了,大大减少了运算时间,下面我们就来尝试的将其拆为两个平方数之和,如果拆成功了那么就会返回1或2,因为其中一个平方数可能为0. (注:由于输入的n是正整数,所以不存在两个平方数均为0的情况)。注意下面的!!a + !!b这个表达式,可能很多人不太理解这个的意思,其实很简单,感叹号!表示逻辑取反,那么一个正整数逻辑取反为0,再取反为1,所以用两个感叹号!!的作用就是看a和b是否为正整数,都为正整数的话返回2,只有一个是正整数的话返回1,参见代码如下:

class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        while (n % 4 == 0) n /= 4;
        if (n % 8 == 7) return 4;
        for (int a = 0; a * a <= n; ++a) {
            int b = sqrt(n - a * a);
            if (a * a + b * b == n) {
                return !!a + !!b;
            }
        }
        return 3;
    }
};

笔记1:从内在数学关系中找到解题方法,进而转换成程序;相比于编程,更重要的是数学推理。

这道题远不止这一种解法,我们还可以用动态规划Dynamic Programming来做,我们建立一个长度为n+1的一维dp数组,将第一个值初始化为0,其余值都初始化为INT_MAX, i从0循环到n,j从1循环到i+j*j <= n的位置,然后每次更新dp[i+j*j]的值,动态更新dp数组,其中dp[i]表示正整数i能少能由多个完全平方数组成,那么我们求n,就是返回dp[n]即可,也就是dp数组的最后一个数字,参见代码如下:

// DP
class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        vector<int> dp(n + 1, INT_MAX);   //dp[]数组初始化
        dp[0] = 0;
        for (int i = 0; i <= n; ++i) {
            for (int j = 1; i + j * j <= n; ++j) {
                dp[i + j * j] = min(dp[i + j * j], dp[i] + 1);  //状态转移方程
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

笔记2:采用动态规划,逐步存储各阶段答案的中间值,最后输出dp[n]即为最终结果,但在效率上不如解法一,dp的时间复杂度为O(n^2)。

### C语言实现完全平方数的示例代码 以下是基于给定引用内容以及专业知识设计的一个完整的C语言程序,用于判断一个正整数是否为完全平方数。 ```c #include <stdio.h> #include <math.h> // 函数声明:判断是否为完全平方数 int isPerfectSquare(int num); int main() { int number; // 提示用户输入一个正整数 printf("请输入一个正整数: "); scanf("%d", &number); if (isPerfectSquare(number)) { printf("%d 是完全平方数。\n", number); } else { printf("%d 不是完全平方数。\n", number); } return 0; } // 判断是否为完全平方数的函数定义 int isPerfectSquare(int num) { if (num < 0) return 0; // 负数不可能是完全平方数 double sqrtValue = sqrt(num); // 计算平方根[^1] if ((sqrtValue - floor(sqrtValue)) == 0) { // 如果平方根是一个整数,则返回true return 1; } return 0; } ``` 上述代码通过 `sqrt` 函数计算输入数值的平方根,并利用 `floor` 函数验证其是否为整数。如果两者相减的结果等于零,则说明该数是完全平方数。 --- ### LeetCode 题目扩展——最小完全平方数组合 对于更复杂的场景,可以参考 LeetCode 上的经典题目 **279. Perfect Squares**,它要求找到组成目标数所需的最少完全平方数的数量。以下是一个简化版的动态规划解决方案: ```c #include <stdio.h> #include <stdlib.h> // 动态规划求解最少完全平方数数量 int numSquares(int n) { int *dp = (int *)malloc((n + 1) * sizeof(int)); dp[0] = 0; for (int i = 1; i <= n; ++i) { dp[i] = i; // 初始化最大可能值 for (int j = 1; j * j <= i; ++j) { dp[i] = (dp[i] < dp[i - j * j] + 1) ? dp[i] : dp[i - j * j] + 1; } } int result = dp[n]; free(dp); return result; } int main() { int targetNumber; printf("请输入一个正整数: "); scanf("%d", &targetNumber); printf("构成 %d 所需的最少完全平方数数量为:%d\n", targetNumber, numSquares(targetNumber)); return 0; } ``` 此代码实现了动态规划算法,能够高效解决复杂情况下的完全平方数组合问题[^4]。 ---
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