279.完全平方数

题目
给定正整数 n，找到若干个完全平方数（比如 1, 4, 9, 16, …）使得它们的和等于 n。你需要让组成和的完全平方数的个数最少。

示例 1:

输入: n = 12
输出: 3 
解释: 12 = 4 + 4 + 4.

示例 2:

输入: n = 13
输出: 2
解释: 13 = 4 + 9.

【中等】
【分析】BFS，利用自带你seen来记录当前应该被分解的数字，记录当前数字之前已经被分解的次数，当该数字被访问过时，不加入队列。

class Solution:
    def numSquares(self, n: int) -> int:
        queue=[n] # 记录当前应该被分解的数字以及在此之前已经被分解的次数
        seen={n:0}
        while queue:
            num=queue.pop(0)              
            i=1
            while i<=num and num-i**2>=0:
                nums=num-i**2   #将num分解到nums
                if nums==0:
                    return seen[num]+1
                if nums not in seen:
                    queue.append(nums)
                    seen[nums]=seen[num]+1    
                i+=1

【分析2】动态规划
定义状态和状态转移方程

class Solution:
    def numSquares(self, n: int) -> int:
        dp=[float("inf") for _ in range(n+1)]
        dp[0]=0
        for i in range(1,n+1):
            j=1
            while j<=i and i-j*j>=0:
                dp[i]=min(dp[i],dp[i-j*j]+1)
                j+=1
        return dp[-1]

上面的代码时间超出限制，。
改进，将上面while换成了直接在$i-j\ast j>=0即1<=j<=\sqrt{i}$范围内直接求所有$dp[i-j\ast j]$们的最小值：

class Solution:
    dp_=[0]
    def numSquares(self, n: int) -> int:
        dp=self.dp_
        for num in range(1,n+1):
            dp+=[min(dp[num-i*i]+1 for i in range(1,int(num**0.5+1)))]
        return dp[-1]

【分析3】四平方和定理

    Lagrange 四平方定理： 任何一个正整数都可以表示成不超过四个整数的平方之和。

if and only if n is not of the form $n=4^a(8b+7)$ for integers a and b.