在读本文前，请先大致浏览一下笔记篇里的东西，下面使用的符号及其意义都跟笔记篇里是一致的。笔记篇里记录的大都是基础的公式，教科书上都可以找到。
（抱歉，刚发现有点小错误：在式（6-4）和式（11）里，积分项中的“dx”都应改为“dω”，由于改图不太好改，就只在这里说明了。请读者看的时候注意）
为了下面叙述方便，我先做几点约定和说明：
本文中提到的傅里叶级数都是复数形式的级数，下标n都是负无穷到正无穷；
对于笔记篇里经常出现的“ nπ/L ”，它可以看成一个角频率，用ω表示。（角频率与频率(通常用f表示)之间的关系是：ω=2πf）。（参见笔记篇中的式（3）、（4）、（6）等）；
进一步，我将“π/L”称为“角基频”， 这样的话“ nπ/L ”就是n倍角基频。当周期为2π时，角基频恰好为1；
一定别搞混：cn代表的不是角频率为n的波分量的振幅，而是角频率为n倍角基频的波分量的振幅；
对于周期函数，除了角频率为整数倍（包括负整数倍）角基频的波分量振幅可以不为0外，角频率为其他值的波分量振幅都是0。（下面介绍频谱图时会再提到此事）；
*对于周期L等于无穷大的函数（非周期函数），其角基频为π/L = 0 ，这样实数范围内的所有角频率都可以看成整数倍角基频了，因此非周期函数在所有的角频率处都有波分量！（就是说，频谱图由离散变得连续了）。什么，那不乱套了？如果所有的角频率都有波分量而且每个波分量都有一个不为0的振幅，那级数怎么可能收敛？还好，每个cn的表达式中都有一个 1/2L 的系数，这样周期无穷大时，所有的振幅cn也都变成“0”了，所以不会乱套，但是这么多0加一块应该还是0，怎么能凑出原来的f(x)呢？这就像对一个函数积分一样，函数在任意一个点处的积分都是0（好吧我知道这说法不科学，但是方便理解），但对一个区间积分，这么多0加起来就成了一个有限值。好了，不乱说了，越说越乱，本文就从这里开始，看完下面的几段大家就能清楚的知道是怎么一回事了。
为了方便大家翻阅，我先将一会儿涉及到的几个公式重新贴一遍在这里。这些公式及公式的标号都与笔记篇中相同。
周期级数公式如式（6）和式（7）那样，我们现在要做的是，搞明白为什么周期L趋于无穷时，就会有式（9）和式（8）的结果。
好，现在我们对式（6）和式（7）进行第一步加工：将式中的“ nπ/L ”用角频率ωn来表示，代表n倍角基频。这样，会产生下面的新式子：
对比式（7-1）和式（8），发现他们右边的积分式主体部分形式几乎是一样的，只是上下限和系数不同。好吧，为了更直观的对比，我再创造一个符号，Fn，将它定义如下：
Fn = cn × 2L
这样我们就可以彻底抛弃cn 这个碍眼的符号了，全部用Fn代替。然后重写式（6）和式（7）：
再拿式（7-2）和式（8）对比，会发现很让人兴奋的结果，他们的形式几乎一样！但是式（6-2）和式（9）貌似差别还不小，他们的系数一个是(1/2L)，一个(1/2π)。好吧，接着来，我们再创造一个符号，Δω，定义如下：
Δω = （π/ L） （其实就是角基频的大小）
利用它来再次加工式（6）：（式（7-2）不变，但还是一块列了出来）
重新对比式（6-3）和式（9），发现形式已经很相近了，只不过一个是积分一个是和式……等一下！和式？再仔细看看看式（6-3），发现这时它很像一个函数积分的和式展开式！那我们现在来构造两个函数吧：F* (ω)和ω* (ω)，构造方法如下：
F*(ω) = Fn 当 [ ( n - 1/2 )Δω] < ω < [ ( n + 1/2 )Δω] 时；
ω* (ω) = ωn 当 [ ( n - 1/2 )Δω] < ω < [ ( n + 1/2 )Δω] 时；
这是两个分段跳跃函数，它们都以ω为自变量，并每隔Δω，函数值变化一次。
好吧，数字太不直观，我把F*(ω)的函数图象大致画出来方便大家理解：
上面这个阶梯状的东西就是F* (ω)的函数图象。ω* (ω)的图像也是类似的阶梯状，而且它的更简单，是一个从负无穷到正无穷逐步升高的形状（每次升高一个角基频的大小）。
这里有必要说明一下，以免误导大家：Fn 一般都是复数，只有在f(x)本身是偶函数时才是实数，因此函数F*的值也应为复数。也就是说，将F*的函数图象画成图1那样的实数形式其实是不合理的。我这样做只是为了方便大家理解（6-3）中的和式是如何变成积分式的。
好了，有了这两个函数，我们再来仔细看看式（6-3），不难看出，这个和式其实就是函数F*在（-∞,+∞）上的积分（面积）！这次我们再进一步，将上面两个式子中的Fn和ωn也都换掉，使其变成ω*和F*这两个函数之间的关系式（离成功不远了）：
这就是转换后的结果。笔记篇中的式（6b）与式（7），跟现在推出的式（6-4）与式（7-4），是完全等价的，因为后面的两个就是根据前两个换算来的，只不过借助了F*(ω)和ω* (ω)这两个新构造的函数而已。
表达的意义一样，适用范围也一样（都适用于周期函数），但形式却大变！
这时再回头看看式（9）和式（8），我们终于可以松口气了，形式完全一样！好了，现在我们再看看看周期L趋于无穷时会发生什么。如果直接分析笔记篇中的式（6b）与式（7），我们会很失望，因为L趋于无穷时，它们都“退化”了，很难直接地从这两个式子中得到有用的信息（如果用这两个式子，我们所能得到的“直观”结果就是：cn 全变0了，所以f(x)是0。显然这是错的）。但我们后来创造出来的式（6-4）与式（7-4），适应环境的能力就很强了。
1. 首先，L趋于无穷时，Δω会变得越来越小直至变成0（Δω是什么？忘了？前面有，Δω = （π/ L））；
2. 同时，对于ω* (ω) = ωn，由于Δω其实就是角基频，而相邻的两个ωn差就是一个角基频，根据1可知，L趋于无穷时，ω* (ω)就由阶梯跳跃变得连续了，这时ω* (ω) =ω。
3. 同时，两个 相邻的Fn，他们的差别也越来越小直至变成0，（Fn = cn × 2L ，从cn的表达式可以看出，L趋于无穷时cn本身就是一个与（1/L）同阶的无穷小量，那相邻的cn之间的差值就是比（1/L）更高阶的无穷小量，因此相邻的Fn之间的差值就趋于0了）。
OK完结，多么简单，可是以前就没想到，刚现在才开窍。
数字游戏玩完之后，我们再好好理解一下式（8）（9）中的F(ω)。从我们刚才的证明过程中，可以看到 Fn = cn×2L ，在笔记篇中我说过，cn其实就代表某个频率波分量的振幅和相位，而Fn与cn是成正比的，它的值同样可以表征一个波分量的振幅和相位。F(ω)与Fn有相同的意义，因此F(ω)的分布其实就代表了各角频率波分量的分布。具体的说：
|F(ω)| 的分布正比地体现了各个角频率波分量的振幅分布。（别忘了F(ω)是复数）
F(ω)的辐角体现了各个角频率波分量的相位分布。
我们平时所说的“频谱图”，其实指的就是| F(ω)|的函数图象，它始终是偶函数（这个就是实数了，因为我们取的是F(ω)的幅值而不是F(ω)本身）。
对于满足傅里叶变换条件的非周期函数，他们的频谱图一般都是连续的；而对于周期函数，他们的频谱则都是离散的点，只在整数倍角基频的位置有非零的频谱点存在。根据频谱图可以很容易判断该原函数是周期函数还是非周期的（看频谱图是否连续就行了），而且对于周期函数，可以从频谱图读出周期大小（相邻的离散点之间的横轴间距就是角基频，这个角频率对应的周期就是原函数的周期）。
那怎样读出每个频率的振幅呢？| F(ω)| 与振幅成正比，要想读出某个频率波分量的实际振幅，只需让 |F(ω)| 乘以相邻离散点的横轴间距再除以π即可。其实就是让 |F(ω)| 除以原函数周期值的一半（即L），参考一下我们上面说到的Fn和cn之间的关系式以及我在笔记篇中提到的“|cn|的幅值是实际振幅的一般”，就可以轻松得到得到这个结论。对于非周期函数来说，其频谱图已趋于连续，相邻“离散点”的横轴间距就是一个无穷小量，而 |F(ω)| 是有限值，那么每个频率波分量的实际振幅就都是0了。
所以对于非周期函数，说“|F(ω)| 代表了振幅密度的大小”比说“ |F(ω)| 代表了振幅的大小”更贴切一点。在某个宽度为Δω的区间内（频带），对这个“密度”进行积分，（其实还要再除以π的）就能得到这个宽度为Δω的频带中所有频率产生的振幅之和（虽然大家的振幅都是趋于0，但无数个加一块就有非零值了）。怎么理解呢？先把这个连续频谱图想象成一个由很多离散点组成的离散频谱图，只不过相邻离散点之间的横轴间距特别小（用dω表示吧，方便我叙述），其实相当于先把这个非周期函数想象成了一个周期很长的周期函数（周期越长，相邻离散点的横轴间距π/L 越小），然后用周期函数那一套计算这个宽度为 Δω的频带内所有频率的振幅之和，求解方法就是让每个非零的频谱值乘以相邻离散点横轴间距dω，都加一块，再除以π。这要取个极限的话，正好就是“在这个宽度为Δω的频带内，对这个密度进行积分，然后除以π”。
下面配两个图，分别是一个周期函数和一个非周期函数的频谱图：
本文完。我以前就一直不清楚傅里叶变换和傅里叶级数的具体关系，在网上找不到很好的资料，以前又没听过课（估计课上也不会讲），书本上又讲的太含糊，所以很长时间没有好好思考过傅里叶级数，现在终于自己想明白了。希望我的这些想法希望对你也有所帮助。
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