CSP-j 2022解题报告（前两题）

Net_bad

已于 2023-01-15 16:25:12 修改

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分类专栏： MYOI 文章标签： c++

于 2022-11-18 18:30:56 首次发布

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本文解析了CSP-J2022中两道算法题：乘方和解密。乘方题要求计算a的b次方，并在结果过大时返回-1；解密题涉及数学推导，利用一元二次方程解决质因数分解问题。

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[CSP-J 2022] 乘方

题目背景

由于众所周知的原因，官方数据现置于子任务 0，剩余的子任务为民间数据。

题目描述

小文同学刚刚接触了信息学竞赛，有一天她遇到了这样一个题：给定正整数 $a$ 和 $b$ ，求 $a^b$ 的值是多少。

$a^b$ 即 $b$ 个 $a$ 相乘的值，例如 $2^3$ 即为 $3$ 个 $2$ 相乘，结果为 $\times 2 \times 2 = 8$ 。

“简单！”小文心想，同时很快就写出了一份程序，可是测试时却出现了错误。

小文很快意识到，她的程序里的变量都是 int 类型的。在大多数机器上，int 类型能表示的最大数为 $2^{31} - 1$ ，因此只要计算结果超过这个数，她的程序就会出现错误。

由于小文刚刚学会编程，她担心使用 int 计算会出现问题。因此她希望你在 $a^b$ 的值超过 ${10}^9$ 时，输出一个 -1 进行警示，否则就输出正确的 $a^b$ 的值。

然而小文还是不知道怎么实现这份程序，因此她想请你帮忙。

输入格式

输入共一行，两个正整数 $a, b$ 。

输出格式

输出共一行，如果 $a^b$ 的值不超过 ${10}^9$ ，则输出 $a^b$ 的值，否则输出 -1。

样例 #1

样例输入 #1

10 9

样例输出 #1

1000000000

样例 #2

样例输入 #2

23333 66666

样例输出 #2

-1

提示

对于 $\%$ 的数据，保证 $b = 1$ 。
对于 $\%$ 的数据，保证 $\le 2$ 。
对于 $\%$ 的数据，保证 $\le 30$ ， $ab≤1018a^b \le {10}^{18}$ 。
对于 $\%$ 的数据，保证 $\le a, b \le {10}^9$ 。

解题思路

通过while循环将b个a相乘即可，但是由于数据“ $\le a, b \le {10}^9$ ”，所以1的1e9次方会超时（虽然官方测试样例没有1），所以要特殊考虑，。

代码展示

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
	long long a,b;//记得开long long
	cin>>a>>b;
	long long ans=1;
	if(a==1)
		cout<<1<<endl;
	else{
		bool f=true;
		for(int i=1;i<=b;i++){
			ans*=a;
			if(ans>1e9){
				cout<<-1<<endl;
				f=false;
				break;
			}
		}
		if(f)
			cout<<ans<<endl;
	}
	return 0;
}

[CSP-J 2022] 解密

题目背景

由于众所周知的原因，官方数据现置于子任务 0，剩余的子任务为民间数据。

题目描述

给定一个正整数 $k$ ，有 $k$ 次询问，每次给定三个正整数 $n_i, e_i, d_i$ ，求两个正整数 $p_i, q_i$ ，使 $ni=pi×qin_i = p_i \times q_i$ 、 $ei×di=(pi−1)(qi−1)+1e_i \times d_i = (p_i - 1)(q_i - 1) + 1$ 。

输入格式

第一行一个正整数 $k$ ，表示有 $k$ 次询问。

接下来 $k$ 行，第 $i$ 行三个正整数 $n_i, d_i, e_i$ 。

输出格式

输出 $k$ 行，每行两个正整数 $p_i, q_i$ 表示答案。

为使输出统一，你应当保证 $pi≤qip_i \leq q_i$ 。

如果无解，请输出 NO。

样例 #1

样例输入 #1

样例输出 #1

2 385
NO
NO
NO
11 78
3 241
2 286
NO
NO
6 88

提示

【样例 #2】

见附件中的 decode/decode2.in 与 decode/decode2.ans。

【样例 #3】

见附件中的 decode/decode3.in 与 decode/decode3.ans。

【样例 #4】

见附件中的 decode/decode4.in 与 decode/decode4.ans。

【数据范围】

以下记 $\times d + 2$ 。

保证对于 $100%100\%$ 的数据， $\leq k \leq {10}^5$ ，对于任意的 $\leq i \leq k$ ， $\leq n_i \leq {10}^{18}$ ， $\leq e_i \times d_i \leq {10}^{18}$
， $\leq m \leq {10}^9$ 。

测试点编号	$\leq$	$\leq$	$\leq$	特殊性质
$1$	$10^3$	$10^3$	$10^3$	保证有解
$2$	$10^3$	$10^3$	$10^3$	无
$3$	$10^3$	$10^9$	$6×1046\times 10^4$	保证有解
$4$	$10^3$	$10^9$	$6×1046\times 10^4$	无
$5$	$10^3$	$10^9$	$10^9$	保证有解
$6$	$10^3$	$10^9$	$10^9$	无
$7$	$10^5$	$10^{18}$	$10^9$	保证若有解则 $p = q$
$8$	$10^5$	$10^{18}$	$10^9$	保证有解
$9$	$10^5$	$10^{18}$	$10^9$	无
$10$	$10^5$	$10^{18}$	$10^9$	无

解题思路（方法一）

显而易见，我们可以通过暴力打出60分

代码展示（方法一）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

unsigned long long k,n,e,d;

int main(){
	cin>>k;
	for(int i=1;i<=k;i++){
		cin>>n>>e>>d;
		unsigned long long p,q;
		bool f=false;
		for(int j=1;j*j<=n;j++){
			if(n%j==0){
				q=n/j;
				if(e*d==(j-1)*(q-1)+1){
					f=true;
					p=j;
					break;
				}
			}
		}
		if(f)
			cout<<p<<" "<<q<<endl;
		else
			cout<<"NO"<<endl;
	}
	return 0;
}

解题思路（方法二）

根据题目，我们可以推出 $p + q = n - e * d + 2 = m,$ 所以 $m = p + q$ ,最后转化为解 $x^2-mx+n=0$ 这个方程。

代码展示（方法二）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

long long k,n,e,d;

int main(){
	cin>>k;
	for(int i=1;i<=k;i++){
		cin>>n>>e>>d;
		long long m=n-e*d+2;
		long long f=m*m-4*n;
		if(f>=0){
			long long ff=sqrt(f);
			if(ff*ff==f&&(m-ff)%2==0){
				cout<<(m-ff)/2<<" "<<(m+ff)/2<<endl;
				continue;
			}
		}
		cout<<"NO"<<endl;
	}
	return 0;
}