Lintcode 4 Ugly Number II

本文介绍了一种高效算法来找到第N个丑数,即只包含质因数2、3和5的正整数。通过动态规划方法,避免了重复计算并显著提高了效率。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

原题如下:

Ugly number is a number that only have factors 23 and 5.

Design an algorithm to find the nth ugly number. The first 10 ugly numbers are 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12...

 Notice

Note that 1 is typically treated as an ugly number.

Example

If n=9, return 10.

题目的意思是看丑陋数,意思是只能被2,3,5相除的数,刚开始审题的时候没有看到题意中的only,一直卡在63%上,解题的方法很多,刚开始的做法是从一开始进行判断,直到n为止,但是这种方法十分耗时,因此会超时。

附上代码如下:

public class Solution {
    
    /**
     * 求第N个丑数
     * @param n
     * @return 第N个丑数
     */
    public int nthUglyNumber(int n) {
    
        if (n <= 1) {
            return 1;
        }

        int counter = 0;
        for (int i = 1; ; i++) {
            
            if (isUgly(i)) {
                counter++;
                if (counter == n) {
                    return i;
                }
            } 
        }
    }
    
    /**
     * 判断数字是否为丑数
     * @param num 被判断数字
     * @return true:丑数,false:非丑数
     */
    public boolean isUgly(int num) {
        
        if (num <= 0) {
            return false;
        }
        
        while (num % 2 == 0) num /= 2;
        while (num % 3 == 0) num /= 3;
        while (num % 5 == 0) num /= 5;
        
        if (num == 1) {
            return true;
        } else {
            return false;
        }
    }
}
后期加工的代码如下:

public class Solution {
    
    /**
     * 求第N个丑数
     * @param n
     * @return 第N个丑数
     */
    public int nthUglyNumber(int n) {
        
        int[] uglyNumbers = new int[n];
        uglyNumbers[0] = 1;
        
        int idx2 = 0;
        int idx3 = 0;
        int idx5 = 0;

        int counter = 1;
        while (counter < n) {
            int min = minOf(
                uglyNumbers[idx2] * 2, 
                uglyNumbers[idx3] * 3, 
                uglyNumbers[idx5] * 5);
            if (min == uglyNumbers[idx2] * 2) {
                idx2++;
            }
            if (min == uglyNumbers[idx3] * 3) {
                idx3++;
            }
            if (min == uglyNumbers[idx5] * 5) {
                idx5++;
            }
            uglyNumbers[counter] = min;
            counter++;
        }
        return uglyNumbers[n - 1];
    }
    
    /**
     * 求三个数字中最小的数字
     * @param a 数字a
     * @param b 数字b
     * @param c 数字c
     * @return a、b、c中最小的数字
     */
    private int minOf(int a, int b, int c) {
        int temp = a < b ? a : b;
        return temp < c ? temp : c; 
    }
}

为了方便理解这段代码,在这段代码里加入了System.out.println函数用于将结果输出到控制台。解除这些注释行,并指定输入的n为15,执行函数时输出到控制台的结果如下:

uglyNumbers[0]:1
-----------
idx2:0;ugly[idx2]:1
idx3:0;ugly[idx3]:1
idx5:0;ugly[idx5]:1
idx2:0;idx3:0;idx5:0
min==ugly[idx2]*2:2
idx2:01
uglyNumbers[1]:2
-----------
idx2:1;ugly[idx2]:2
idx3:0;ugly[idx3]:1
idx5:0;ugly[idx5]:1
idx2:1;idx3:0;idx5:0
min==ugly[idx3]*3:3
idx3:01
uglyNumbers[2]:3
-----------
idx2:1;ugly[idx2]:2
idx3:1;ugly[idx3]:2
idx5:0;ugly[idx5]:1
idx2:1;idx3:1;idx5:0
min==ugly[idx2]*2:4
idx2:12
uglyNumbers[3]:4
-----------
idx2:2;ugly[idx2]:3
idx3:1;ugly[idx3]:2
idx5:0;ugly[idx5]:1
idx2:2;idx3:1;idx5:0
min==ugly[idx5]*5:5
idx5:01
uglyNumbers[4]:5
-----------
idx2:2;ugly[idx2]:3
idx3:1;ugly[idx3]:2
idx5:1;ugly[idx5]:2
idx2:2;idx3:1;idx5:1
min==ugly[idx2]*2:6
idx2:23
min==ugly[idx3]*3:6
idx3:12
uglyNumbers[5]:6
-----------
idx2:3;ugly[idx2]:4
idx3:2;ugly[idx3]:3
idx5:1;ugly[idx5]:2
idx2:3;idx3:2;idx5:1
min==ugly[idx2]*2:8
idx2:34
uglyNumbers[6]:8
-----------
idx2:4;ugly[idx2]:5
idx3:2;ugly[idx3]:3
idx5:1;ugly[idx5]:2
idx2:4;idx3:2;idx5:1
min==ugly[idx3]*3:9
idx3:23
uglyNumbers[7]:9
-----------
idx2:4;ugly[idx2]:5
idx3:3;ugly[idx3]:4
idx5:1;ugly[idx5]:2
idx2:4;idx3:3;idx5:1
min==ugly[idx2]*2:10
idx2:45
min==ugly[idx5]*5:10
idx5:12
uglyNumbers[8]:10
-----------
idx2:5;ugly[idx2]:6
idx3:3;ugly[idx3]:4
idx5:2;ugly[idx5]:3
idx2:5;idx3:3;idx5:2
min==ugly[idx2]*2:12
idx2:56
min==ugly[idx3]*3:12
idx3:34
uglyNumbers[9]:12
-----------
idx2:6;ugly[idx2]:8
idx3:4;ugly[idx3]:5
idx5:2;ugly[idx5]:3
idx2:6;idx3:4;idx5:2
min==ugly[idx3]*3:15
idx3:45
min==ugly[idx5]*5:15
idx5:23
uglyNumbers[10]:15
-----------
idx2:6;ugly[idx2]:8
idx3:5;ugly[idx3]:6
idx5:3;ugly[idx5]:4
idx2:6;idx3:5;idx5:3
min==ugly[idx2]*2:16
idx2:67
uglyNumbers[11]:16
-----------
idx2:7;ugly[idx2]:9
idx3:5;ugly[idx3]:6
idx5:3;ugly[idx5]:4
idx2:7;idx3:5;idx5:3
min==ugly[idx2]*2:18
idx2:78
min==ugly[idx3]*3:18
idx3:56
uglyNumbers[12]:18
-----------
idx2:8;ugly[idx2]:10
idx3:6;ugly[idx3]:8
idx5:3;ugly[idx5]:4
idx2:8;idx3:6;idx5:3
min==ugly[idx2]*2:20
idx2:89
min==ugly[idx5]*5:20
idx5:34
uglyNumbers[13]:20
-----------
idx2:9;ugly[idx2]:12
idx3:6;ugly[idx3]:8
idx5:4;ugly[idx5]:5
idx2:9;idx3:6;idx5:4
min==ugly[idx2]*2:24
idx2:910
min==ugly[idx3]*3:24
idx3:67
uglyNumbers[14]:24
-----------
return:24
摘抄网上大佬的其他方法:

HashMap + PriorityQueue(MinHeap):将2,3,5入队,每次取出堆顶元素(最小值),依次和3个factor相乘,将所得结果入队。用HashMap记录入队元素,入过队的元素不能再次入队。

代码如下:

HashMap + Heap O(nlogn):

class Solution {
    /**
     * @param n an integer
     * @return the nth prime number as description.
     */
    public int nthUglyNumber(int n) {
        // Write your code here
        //HashMap + Heap O(nlogn)

        if(n <= 0){
            return 0;
        }

        PriorityQueue<Long> Q = new PriorityQueue<Long>();
        HashMap<Long, Boolean> inQ = new HashMap<Long, Boolean>();
        Long[] prime = new Long[3];
        prime[0] = Long.valueOf(2);
        prime[1] = Long.valueOf(3);
        prime[2] = Long.valueOf(5);
        for(int i = 0; i < 3; i++){
            Q.add(prime[i]);
            inQ.put(prime[i], true);
        }

        //每次取最小堆(优先队列)顶的元素,取n-1次,同时将取出的数和3个factor相乘的结果加入队列(如果本来已经在队列中则不用加)
        Long number = Long.valueOf(1);
        for(int i = 1; i < n; i++){
            number = Q.poll();
            for(int j = 0; j < 3; j++){
                if(!inQ.containsKey(number * prime[j])){
                    Q.add(number * prime[j]);
                    inQ.put(number * prime[j], true);
                }
            }
        }
        //Long转换为Int
        return number.intValue();
    }
}
另有简便方法:

class Solution {
public:
    int nthUglyNumber(int n) {
        vector<int> res(1, 1);
        int i2 = 0, i3 = 0, i5 = 0;
        while (res.size() < n) {
            int m2 = res[i2] * 2, m3 = res[i3] * 3, m5 = res[i5] * 5;
            int mn = min(m2, min(m3, m5));
            if (mn == m2) ++i2;
            if (mn == m3) ++i3;
            if (mn == m5) ++i5;
            res.push_back(mn);
        }
        return res.back();
    }
};


在Python中实现寻找丑数的函数,可以利用动态规划的思想。丑数的定义是只包含质因子2、3和5的正整数,且通常1被认为是第一个丑数。根据题目的思路,每一个新的丑数都是由之前的某个丑数乘以2、3或5得到的。因此,我们可以维护三个指针,分别对应乘以2、乘以3和乘以5的情况,每次迭代选出这三个数中的最小值作为下一个丑数,同时更新指针。以下是具体的实现步骤和代码: 参考资源链接:[剑指Offer:丑数(Python)](https://wenku.csdn.net/doc/64530762fcc539136803da9f?spm=1055.2569.3001.10343) 1. 初始化一个数组用于存储丑数,首先存入第一个丑数1。 2. 初始化三个指针i2、i3、i5,分别表示当前乘以2、乘以3、乘以5的丑数在数组中的位置,初始值为0。 3. 初始化变量nextUglyNumber为第一个丑数1。 4. 对于第n个丑数,从nextUglyNumber开始,进行以下步骤直到找到第n个丑数: a. 计算出数组中乘以2、乘以3、乘以5后的候选丑数。 b. 从这三个候选丑数中选出最小的一个,作为下一个丑数。 c. 更新对应的指针i2、i3、i5,使其指向选出的丑数在数组中的位置。 d. 更新变量nextUglyNumber为选出的最小丑数。 5. 返回第n个丑数。 下面是根据上述步骤实现的Python函数: ```python def nthUglyNumber(n): if n <= 0: return 0 ugly_numbers = [1] i2 = i3 = i5 = 0 next_ugly = 1 for _ in range(1, n): next_ugly = min(ugly_numbers[i2] * 2, ugly_numbers[i3] * 3, ugly_numbers[i5] * 5) ugly_numbers.append(next_ugly) if next_ugly == ugly_numbers[i2] * 2: i2 += 1 if next_ugly == ugly_numbers[i3] * 3: i3 += 1 if next_ugly == ugly_numbers[i5] * 5: i5 += 1 return ugly_numbers[-1] ``` 以上代码定义了一个函数nthUglyNumber,通过动态规划的方式计算第n个丑数。该实现方式简洁高效,能够直接解决问题。 结合问题及辅助资料,建议在阅读《剑指Offer:丑数(Python)》一书时,特别关注其中关于动态规划和问题解决策略的讲解。书中的题目和解答将帮助你更深入地理解丑数问题,并掌握如何使用动态规划解决此类问题。当理解了动态规划的基础概念后,你可以尝试解决更复杂的编程挑战,进一步提升你的编程能力。 参考资源链接:[剑指Offer:丑数(Python)](https://wenku.csdn.net/doc/64530762fcc539136803da9f?spm=1055.2569.3001.10343)
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