Cartesian树的建立算法

Cartesian树（笛卡儿树）是一种特殊的堆，它根据一个长度为n的数组A建立。它的根是A的最小元素位置，而左子树和右子树分别为A[1...i-1]和A[i+1...n]的笛卡儿树。

例如：数组A为 5 4 6 2 7 9 8 1 3 10

则这棵Cartesian树为

此主题相关图片如下：

由上图可以看出，A[1]...A[n]为这棵树的中序遍历。

那么，如何建立Cartesian树呢？

根据他的定义，按照顺序来找最小值，但是这种算法的最坏情况下的复杂度是O(n^2)的。

现在来介绍一种复杂度为O(n)的算法。

Cartesian树的建立算法：

首先，先从A[1]开始建立，以后每次加一个数，就修改Cartesian数，不难发现，这个数一 定在这棵树的最右边的路径上。而且一定没有右孩子（应为数组为树的中序遍历），所以，只沿着最右路径自底向上把各个节点p和A[i]做比较，如果 p<A[i]，那么A[i]就为p的右孩子，如果p>A[i]，那么比较p的父亲与A[i]，如果A[i]>p的父亲，那么A[i]为 p的父亲的右孩子，而p则改为A[i]的左孩子。因为每个节点最多进入和退出最右路径各一次，所以，均摊时间复杂度为O(0)。