Manacher(回文字符串)

void manacher() {
    int id, mx = 0; //mx为已知回文字符串触及到最远的下标  id为mx对应的回文中心
    for(int i = 1; i < newlen; i++) {
        if(mx >= i)
            p[i] = min(p[2 * id - i], mx - i + 1);
        for(; newstr[i - p[i]] == newstr[i + p[i]]; p[i]++);
        if(i + p[i] - 1 > mx) {
            mx = i + p[i] - 1;
            id = i;
        }
    }    
} //预处理$#a#a#a#
### Manacher Algorithm for Palindrome Strings Manacher's algorithm 是一种高效的线性时间复杂度 \(O(n)\) 的算法,用于找到给定字符串中的最长回文子串。它通过利用回文的对称性质来减少不必要的计算。 #### 算法核心思想 为了处理偶数长度和奇数长度的回文字串统一化问题,可以在原字符串中插入特殊分隔符 `#` 和边界标记 `$` 来构建一个新的字符串。例如,对于输入字符串 `"aab"`,可以将其转换为 `"$#a#a#b#@"`[^1]。这样做的好处是可以将所有可能的回文中心标准化到单个字符上。 接着定义一个辅助数组 `P[]`,其中 `P[i]` 表示以第 i 个位置为中心的最大半径(即该回文右端点减去左端点再加一除二的结果)。同时维护两个变量:当前已知最右侧回文的中心 `center` 和其对应的右边界 `right`。 当遍历新字符串时,如果当前位置小于等于右边界的覆盖范围,则尝试基于镜像位置的信息加速判断;否则直接从头开始扩展直到不满足条件为止,并更新全局最优解以及必要情况下调整 center 和 right 值。 以下是 Python 实现代码: ```python def manachers_algorithm(s): # Preprocess the string by inserting special characters '#' T = ['#'] * (2 * len(s) + 3) T[0], T[-1] = '$', '@' # Sentinels j = 0 for i in range(1, len(T)-1, 2): T[i] = s[j] j += 1 P = [0] * len(T) C = R = 0 max_len = 0 center_index = 0 for i in range(1, len(T)-1): mirror_i = 2*C - i if R > i: P[i] = min(R-i, P[mirror_i]) while T[i+(1+P[i])] == T[i-(1+P[i])]: P[i] += 1 if i + P[i] > R: C = i R = i + P[i] if P[i] > max_len: max_len = P[i] center_index = i start = (center_index - max_len) // 2 return s[start:start+max_len] print(manachers_algorithm("banana")) # Output: 'anana' ``` 此函数接受原始字符串作为参数并返回最长回文子串。 --- ### KMP Algorithm Usage in Palindromes 尽管 KMP 主要应用于模式匹配领域而非专门针对回文检测设计,但它也可以间接帮助解决某些涉及前缀与后缀关系的问题。比如,在寻找特定类型的回文中可能会用到它的部分特性——具体来说就是如何高效比较前后缀相似性的技巧。 然而需要注意的是,标准形式下的 KMP 并不适合单独用来判定整个字符串是否构成完全意义上的回文结构或者定位内部存在的最大规模回文片段等问题场景下表现不如其他专用方法那样理想。因此更多时候我们会看到人们倾向于采用诸如动态规划、中心扩散法或者是上述提到过的 Manacher’s Algorithm 这些更适合此类任务的技术手段来进行操作。 ---
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