字符串DP问题

前言

最长回文数序列

二维DP数组解决

对于一些字符串问题，比如求一串字符中最长的回文串，或者是一些回文串的变种问题，我们一般可以使用一个二维的DP数组来保存计算的结果，从而减少计算量，下面我用两个例题来解释

例题1

例题的链接

例题2

516. Longest Palindromic Subsequence
给定一个字符串s，找出s中最长的回文子序列的长度。
子序列是一个序列，可以通过删除部分或不删除元素而从另一个序列派生，而不改变其余元素的顺序。

我们可以将一个字符串的任意字串用一个二维DP数组来表示，比如s[2,4]可以表示为DP[2][4]

所以我们这个问题可以用DP[2][4]表示字符串s的[2,4]字串中最长的回文串的长度

所以这个问题的state transition 方程为：
$$\{\begin{array}{ll}dp[i][j]=dp[i-1][j+1]+2& s[i]=s[j]\\ dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j+1])& s[i]\ne s[j]\end{array}$$

Example 1:

Input: s = "bbbab"
Output: 4
Explanation: One possible longest palindromic subsequence is "bbbb".

Example 2:

Input: s = "cbbd"
Output: 2
Explanation: One possible longest palindromic subsequence is "bb".

class Solution {
public:
    int longestPalindromeSubseq(string s) {
        int lens = s.size();
        vector<vector<int>> dp(lens, vector<int>(lens, 0));
        for(int i=0; i<lens; i++){
            dp[i][i] = 1;
            for(int j=i-1; j>=0; j--){
                if(s[i] == s[j]){
                    dp[i][j] = dp[i-1][j+1] + 2;
                }else{
                    dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j+1]);
                }
            }
        }
        return dp[lens-1][0];
    }
};

最长公共子序列

这种问题跟最长回文序列一样，要用一个二维DP数组来解题
对于两个子序列，用一个二层嵌套for循环来遍历，若s1[i] == s2[j]，则我们的公共子序列长度可以加一
如果s[i] != s[j]，则我们比较{s1[:i-1], s[:j]}和{s1[:i], s[:j-1]}，也就是dp[i][j-1]和dp[i-1][j]，选择较大的一个作为dp[i][j]的值

例题1

原地tp

最长递增子序列

此类问题用一个一维DP数组即可解决，DP数组s[:i]表示序列前i个元素的最长递增子序列的长度

例题1

原地tp

最长扭动子序列

这题我也不咋会写。。。。。丢脸了

例题1

原地tp