OpenGL笔记2.1 角的顶点

一、点、直线和多边形
我们知道数学（具体的说，是几何学）中有点、直线和多边形的概念，但这些概念在计算机中会有所不同。
　　数学上的点，只有位置，没有大小。但在计算机中，无论计算精度如何提高，始终不能表示一个无穷小的点。另一方面，无论图形输出设备（例如，显示器）如何精 确，始终不能输出一个无穷小的点。一般情况下，OpenGL中的点将被画成单个的像素（像素的概念，请自己搜索之~），虽然它可能足够小，但并不会是无穷 小。同一像素上，OpenGL可以绘制许多坐标只有稍微不同的点，但该像素的具体颜色将取决于OpenGL的实现。当然，过度的注意细节就是钻牛角尖，我 们大可不必花费过多的精力去研究“多个点如何画到同一像素上”。
　　同样的，数学上的直线没有宽度，但OpenGL的直线则是有宽度的。同时，OpenGL的直线必须是有限长度，而不是像数学概念那样是无限的。可以认为，OpenGL的“直线”概念与数学上的“线段”接近，它可以由两个端点来确定。
　　多边形是由多条线段首尾相连而形成的闭合区域。OpenGL规定，一个多边形必须是一个“凸多边形”（其定义为：多边形内任意两点所确定的线段都在多边形 内，由此也可以推导出，凸多边形不能是空心的）。多边形可以由其边的端点（这里可称为顶点）来确定。（注意：如果使用的多边形不是凸多边形，则最后输出的 效果是未定义的——OpenGL为了效率，放宽了检查，这可能导致显示错误。要避免这个错误，尽量使用三角形，因为三角形都是凸多边形）

　　可以想象，通过点、直线和多边形，就可以组合成各种几何图形。甚至于，你可以把一段弧看成是很多短的直线段相连，这些直线段足够短，以至于其长度小于一个像素的宽度。这样一来弧和圆也可以表示出来了。通过位于不同平面的相连的小多边形，我们还可以组成一个“曲面”。

二、在OpenGL中指定顶点
由以上的讨论可以知道，“点”是一切的基础。
如何指定一个点呢？OpenGL提供了一系列函数。它们都以glVertex开头，后面跟一个数字和1~2个字母。例如：
glVertex2d
glVertex2f
glVertex3f
glVertex3fv
等等。
数字表示参数的个数，2表示有两个参数，3表示三个，4表示四个（我知道有点罗嗦~）。
字母表示参数的类型，s表示16位整数（OpenGL中将这个类型定义为GLshort），
                   i表示32位整数（OpenGL中将这个类型定义为GLint和GLsizei），
                   f表示32位浮点数（OpenGL中将这个类型定义为GLfloat和GLclampf），
                   d表示64位浮点数（OpenGL中将这个类型定义为GLdouble和GLclampd）。
                   v表示传递的几个参数将使用指针的方式，见下面的例子。
这些函数除了参数的类型和个数不同以外，功能是相同的。例如，以下五个代码段的功能是等效的：
（一）glVertex2i(1, 3);
（二）glVertex2f(1.0f, 3.0f);
（三）glVertex3f(1.0f, 3.0f, 0.0f);
（四）glVertex4f(1.0f, 3.0f, 0.0f, 1.0f);
（五）GLfloat VertexArr3[] = {1.0f, 3.0f, 0.0f}; glVertex3fv(VertexArr3);
以后我们将用glVertex*来表示这一系列函数。
注意：OpenGL的很多函数都是采用这样的形式，一个相同的前缀再加上参数说明标记，这一点会随着学习的深入而有更多的体会。

三、开始绘制
假设现在我已经指定了若干顶点，那么OpenGL是如何知道我想拿这些顶点来干什么呢？是一个一个的画出来，还是连成线？或者构成一个多边形？或者做其它什么事情？
为了解决这一问题，OpenGL要求：指定顶点的命令必须包含在glBegin函数之后，glEnd函数之前（否则指定的顶点将被忽略）。并由glBegin来指明如何使用这些点。
例如我写：
glBegin(GL_POINTS);
     glVertex2f(0.0f, 0.0f);
     glVertex2f(0.5f, 0.0f);
glEnd();
则这两个点将分别被画出来。如果将GL_POINTS替换成GL_LINES，则两个点将被认为是直线的两个端点，OpenGL将会画出一条直线。
我们还可以指定更多的顶点，然后画出更复杂的图形。
另一方面，glBegin支持的方式除了GL_POINTS和GL_LINES，还有GL_LINE_STRIP，GL_LINE_LOOP，GL_TRIANGLES，GL_TRIANGLE_STRIP，GL_TRIANGLE_FAN等，每种方式的大致效果见下图：


我并不准备在glBegin的各种方式上大作文章。大家可以自己尝试改变glBegin的方式和顶点的位置，生成一些有趣的图案。

程序代码：

void myDisplay(void)
{
     glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT);
     glBegin( /* 在这里填上你所希望的模式 */ );
        /* 在这里使用glVertex*系列函数 */
        /* 指定你所希望的顶点位置 */
     glEnd();
     glFlush();
}

把这段代码改成你喜欢的样子，然后用它替换第一课中的myDisplay函数，编译后即可运行。

两个例子
例一、画一个圆

/*
正四边形，正五边形，正六边形，……，直到正n边形，当n越大时，这个图形就越接近圆
当n大到一定程度后，人眼将无法把它跟真正的圆相区别
这时我们已经成功的画出了一个“圆”
（注：画圆的方法很多，这里使用的是比较简单，但效率较低的一种）
试修改下面的const int n的值，观察当n=3,4,5,8,10,15,20,30,50等不同数值时输出的变化情况
将GL_POLYGON改为GL_LINE_LOOP、GL_POINTS等其它方式，观察输出的变化情况
*/
#include <math.h>
const int n = 20;
const GLfloat R = 0.5f;//半径
const GLfloat Pi = 3.1415926536f;
void myDisplay(void)
{
     int i;
     glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT);
     glBegin(GL_POLYGON);
     for(i=0; i<n; ++i)
         glVertex2f(R*cos(2*Pi/n*i), R*sin(2*Pi/n*i)); // 2*Pi弧度 = 360角度
     glEnd();
     glFlush();
}

例二、画一个五角星

/*
设五角星的五个顶点分布位置关系如下：
      A
E        B

    D    C
首先，根据余弦定理列方程，计算五角星的中心到顶点的距离a
（假设五角星对应正五边形的边长为.0）
a = 1 / (2-2*cos(72*Pi/180));
然后，根据正弦和余弦的定义，计算B的x坐标bx和y坐标by，以及C的y坐标
（假设五角星的中心在坐标原点）
bx = a * cos(18 * Pi/180);
by = a * sin(18 * Pi/180);
cy = -a * cos(18 * Pi/180);
五个点的坐标就可以通过以上四个量和一些常数简单的表示出来
*/
#include <math.h>
const GLfloat Pi = 3.1415926536f;
void myDisplay(void)
{
     GLfloat a = 1 / (2-2*cos(72*Pi/180));
     GLfloat bx = a * cos(18 * Pi/180);
     GLfloat by = a * sin(18 * Pi/180);
     GLfloat cy = -a * cos(18 * Pi/180);
     GLfloat
         PointA[2] = { 0, a },
         PointB[2] = { bx, by },
         PointC[2] = { 0.5, cy },
         PointD[2] = { -0.5, cy },
         PointE[2] = { -bx, by };

     glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT);
     // 按照A->C->E->B->D->A的顺序，可以一笔将五角星画出
     glBegin(GL_LINE_LOOP);
         glVertex2fv(PointA);
         glVertex2fv(PointC);
         glVertex2fv(PointE);
         glVertex2fv(PointB);
         glVertex2fv(PointD);
     glEnd();
     glFlush();
}

例三、画出正弦函数的图形

/*
由于OpenGL默认坐标值只能从-1到1，（可以修改，但方法留到以后讲）
所以我们设置一个因子factor，把所有的坐标值等比例缩小，
这样就可以画出更多个正弦周期
试修改factor的值，观察变化情况
*/
#include <math.h>
const GLfloat factor = 0.1f;
void myDisplay(void)
{
     GLfloat x;
     glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT);
     glBegin(GL_LINES);
         glVertex2f(-1.0f, 0.0f);
         glVertex2f(1.0f, 0.0f);         // 以上两个点可以画x轴
         glVertex2f(0.0f, -1.0f);
         glVertex2f(0.0f, 1.0f);         // 以上两个点可以画y轴
     glEnd();
     glBegin(GL_LINE_STRIP);
     for(x=-1.0f/factor; x<1.0f/factor; x+=0.01f)
     {
         glVertex2f(x*factor, sin(x)*factor);
     }
     glEnd();
     glFlush();
}

小结
本课讲述了点、直线和多边形的概念，以及如何使用OpenGL来描述点，并使用点来描述几何图形。
大家可以发挥自己的想象，画出各种几何图形，当然，也可以用GL_LINE_STRIP把很多位置相近的点连接起来，构成函数图象。如果有兴趣，也可以去找一些图象比较美观的函数，自己动手，用OpenGL把它画出来。