高等近世代数笔记(1) 置换与群

这篇笔记介绍了近世代数中的置换与群论的基础知识。首先,定义了置换的符号以及奇偶置换的概念,并证明了乘积的符号法则。接着,讨论了群的基本性质,包括消去律、幺元的唯一性、逆元的唯一性以及结合律。还探讨了群的幂运算,如r-轮换的性质,以及证明了群中满足g^2 = g的唯一元素是单位元。此外,涉及到了子群的概念,以及拉格朗日定理的应用,展示了群的阶与子群的阶之间的关系。最后,通过具体的例子展示了群的运算,如矩阵群的例子,以及证明了当两个子群的阶互质时,它们的交集仅含单位元。

(Definition)αSn,α=i=1tβi(βiSn):sgn(α)=(1)nt.(Definition)设α∈Sn,且α=∏i=1tβi(βi∈Sn)是分解为不相交轮换的完全轮换分解:定义sgn(α)=(−1)n−t.

(Theorem)α,βSn,sgn(αβ)=sgn(α)sgn(β).(Theorem)∀α,β∈Sn,sgn(αβ)=sgn(α)sgn(β).

(Theorem)α,iff.sgn(α)=1,α.(Theorem)α是偶置换,iff.sgn(α)=1,否则α是奇置换.

(Proposition 2.2)αSn,sgn(α1)=sgn(α)(Proposition 2.2)α∈Sn,则sgn(α−1)=sgn(α)
证明:由完全轮换分解定理α1=(i=1tβi)1=i=t1β1i(βiSn)α−1=(∏i=1tβi)−1=∏i=t1βi−1(βi∈Sn),所以sgn(α1)=(1)nt=sgn(α)sgn(α−1)=(−1)n−t=sgn(α)

(Proposition 2.3)σSn,σSn1: σ(i)=σ(i)σi[1,n],sgn(σ)=sgn(σ).(Proposition 2.3)σ∈Sn,定义σ′∈Sn−1: σ′(i)=σ(i)对于一切σ所不固定的i∈[1,n],证明sgn(σ′)=sgn(σ).
证明:不妨设σ=αβσ=αβ,αα为所有不固定的轮换之积.则sgn(σ)=sgn(αβ)=(1)na1b=(1)na1b=sgn(σ).sgn(σ′)=sgn(αβ′)=(−1)n−a1b′=(−1)n−a1b=sgn(σ).

(Proposition 2.5)(Proposition 2.5)
(i)(ii)αr,αr=(1);(i)r.(i)α是r−轮换,证明αr=(1);(ii)证明(i)中r是满足的最小正整数.
证明:
(i)(i)α=(i0ir1):α=(i0…ir−1):
basic step:α1(ik¯¯¯)=ik+1¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(modr).basic step:α1(ik¯)=ik+1¯(modr).
recuisive step:αn(ik¯

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