高等近世代数笔记(1) 置换与群

最新推荐文章于 2023-12-16 22:11:28 发布

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#数学

这篇笔记介绍了近世代数中的置换与群论的基础知识。首先，定义了置换的符号以及奇偶置换的概念，并证明了乘积的符号法则。接着，讨论了群的基本性质，包括消去律、幺元的唯一性、逆元的唯一性以及结合律。还探讨了群的幂运算，如r-轮换的性质，以及证明了群中满足g^2 = g的唯一元素是单位元。此外，涉及到了子群的概念，以及拉格朗日定理的应用，展示了群的阶与子群的阶之间的关系。最后，通过具体的例子展示了群的运算，如矩阵群的例子，以及证明了当两个子群的阶互质时，它们的交集仅含单位元。

$\displaystyle\text{(Definition)}设\alpha \in S_n,且\alpha=\prod_{i=1}^{t}\beta_i(\beta_i\in S_n)是分解为不相交轮换的完全轮换分解:\\定义sgn(\alpha)=(-1)^{n-t}.\\$

$\displaystyle\text{(Theorem)}\forall \alpha,\beta\in S_n,sgn(\alpha\beta)=sgn(\alpha)sgn(\beta).$

$\displaystyle\text{(Theorem)}\alpha是偶置换,iff.sgn(\alpha)=1,否则\alpha是奇置换.$

$\displaystyle\text{(Proposition 2.2)}\alpha\in S_n,则sgn(\alpha^{-1})=sgn(\alpha)$
证明：由完全轮换分解定理 $\displaystyle\alpha^{-1}=(\prod_{i=1}^{t}\beta_i)^{-1}=\prod_{i=t}^{1}\beta_i^{-1}(\beta_i\in S_n)$ ,所以 $\displaystyle sgn(\alpha^{-1})=(-1)^{n-t}=sgn(\alpha)$

$\displaystyle\text{(Proposition 2.3)}\sigma\in S_n,定义\sigma’\in S_{n-1}:\ \sigma’(i)=\sigma(i)对于一切\sigma所不固定的i\in [1,n],证明sgn(\sigma’)=sgn(\sigma).$
证明：不妨设 $\sigma=\alpha\beta$ , $\alpha$ 为所有不固定的轮换之积.则 $sgn(\sigma')=sgn(\alpha\beta')=(-1)^{n-a}1^{b'}=(-1)^{n-a}1^{b}=sgn(\sigma).$

$\displaystyle\text{(Proposition 2.5)}$
$\begin{aligned}(i)&\alpha是r-轮换,证明\alpha^r=\left(1\right);\\ (ii)&证明(i)中r是满足的最小正整数.\end{aligned}$
证明：
$(i)$ 设 $\alpha=(i_0\dots i_{r-1}):$
$\text{basic step:}\alpha^{1}(i_\overline{k})=i_{\overline{k+1}}\pmod r.$
recuisive step:αn(ik¯