松弛操作的性质

在单源最短路径的求解算法中，往往涉及松弛操作，而松弛操作是证明单源最短路径算法的基石。

• 相关概念
  最短路径：假设从结点u到结点v的最短路径权重为$\delta(u,v)$，那么从结点u到结点v的最短路径定义为任何一条权重$\omega(p)=\delta(u,v)$的从u到v的路径p。
  最短路径估计：对于每个结点v来说，我们维持一个属性v.d，用来记录从源结点s到结点v的最短路径权重的上界，称v.d为s到v的最短路径估计。
  前驱结点：对于每个结点v，我们维持一个前驱结点$v.\pi$，它表示扫描$v.\pi$结点时发现结点v。
  单源最短路径算法进行之前，都必须对最短路径估计和前驱结点进行初始化，伪代码如下：
  INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G,s)

for each vertex v \in G.V
  v.d=INFTY
  v.pi=NIL
s.d=0

结点的v.d属性和$v.\pi$属性发生变化是通过松弛操作完成的，对边(u,v)在O(1)时间内进行松弛操作的伪代码如下：
RELAX(u,v,w)

if v.d>u.d+w(u,v)
  v.d=u.d+w(u,v)
  v.pi=u

• 松弛操作的性质
  $1^。$三角不等式性质：对于任何边$(u,v)\in E$，有$\delta(s,v)\leq \delta(s,u)+\omega(u,v)$。
  $2^。$上界性质：对于所有结点$v\in V$，我们有$v.d\geq\delta(s,v)$。一旦$v.d$的取值达到$\delta(s,v)$，其值将不再变化。
  $3^。$非路径性质：若从结点s到结点v之间不存在路径，有$v.d=\delta(s,v)=\infty$。
  $4^。$收敛性质：设结点$u,v\in V$，如果$s\leadsto u\rightarrow v$是图G中的一条最短路径，且在对边(u,v)进行松弛前的任意时间有$u.d=\delta(s,u)$，则在之后的所有时间有$v.d=\delta(s,v)$。
  $5^。$路径松弛性质：若$p=<v_0,v_1,...,v_k>$是从源结点$s=v_0$到结点$v_k$的一条路径，且我们对$p$中所进行松弛的次序为$(v_0,v_1),(v_1,v_2),...,(v_{k-1},v_k)$，则$v_k.d=\delta(s,v_k)$。
  $6^。$前驱子图性质：对于所有结点$v\in V$，一旦$v.d=\delta(s,v)$，则前驱子图是一棵根结点为的最短路径树。