BZOJ 2440 完全平方数 - 莫比乌斯反演

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本文介绍了如何通过二分搜索和莫比乌斯函数解决BZOJ2440完全平方数问题。核心思路在于利用容斥原理计算无平方因子数的数量，最终求得满足条件的最大整数。

BZOJ 2440 完全平方数
参考PoPoQQQ神的ppt

首先二分答案问题转化为求[1,x]之间有多少个无平方因子数
根据容斥原理可知对于sqrt(x)以内所有的质数有
x以内的无平方因子数
=0个质数乘积的平方的倍数的数的数量(1的倍数)
-每个质数的平方的倍数的数的数量(9的倍数,25的倍数,…)
+每2个质数乘积的平方的倍数的数的数量(36的倍数,100的倍数,…)-…

容易发现每个乘积a前面的符号恰好是 $\mu(a)$ (例如 $\mu(3)=-1$ ,故9对答案的贡献为负； $\mu(6)=1$ ，故36对答案的贡献为正)

x以内 $i^2$ 的倍数有 $\lfloor \frac{x}{i^2} \rfloor$ 个故有 $Q(x)=\sum_{i=1}^{\lfloor \sqrt{x} \rfloor} \lfloor \frac{x}{i^2}\rfloor$

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long LL;


const int N= 1e6+10;
int prime[N],tot;
int mu[N];

void Mu(){
    mu[1]=1;
    for (int i=2;i<N;i++){
        if (!prime[i]){
            prime[++tot]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for (int j=1;prime[j]*i<N;j++){
            prime[prime[j]*i]=1;
            if (i%prime[j]==0){
                mu[i*prime[j]]=0;
                break;
            }
            mu[i*prime[j]]=-mu[i];
        }
    }
    //for (int i=1;i<=100;i++) printf("%d %d\n",i,mu[i]);
}

LL calc(LL mid)
{
    LL ans=0;
    for (LL i=1;i*i<=mid;i++){
        ans+=mu[i]*(mid/(i*i));
    }
    return ans;
}
void work(){
    int K ;
    cin>>K;

    LL L=1,R=1LL<<32,mid,ans=1;
    while (L<=R){
        LL mid=(L+R)>>1;

        LL ret=calc(mid);
        if (ret>=K)R=mid-1,ans=mid;
        else       L=mid+1;
    }
    cout<<ans<<endl;
}
int main()
{
    Mu();
    int Case;scanf("%d",&Case);
    while (Case--){
        work();
    }
    return 0;
}