39、自动和线性递归序列中的本原字与Lyndon字

自动和线性递归序列中的本原字与Lyndon字

1. 引言

在开始深入探讨之前，我们先明确一些基本定义。
- 幂字与本原字 ：一个非空字 $w$，若能写成 $w = x^k$（$k \geq 2$ 为整数）的形式，则称 $w$ 为幂字；否则，称 $w$ 为本原字。例如，“murmur” 是幂字，而 “murder” 是本原字。
- 因子、前缀和后缀 ：若存在字 $x$ 和 $z$ 使得 $w = xyz$，则称 $y$ 是 $w$ 的因子。若 $x = \epsilon$（空字），则 $y$ 是 $w$ 的前缀；若 $z = \epsilon$，则 $y$ 是 $w$ 的后缀。若前缀或后缀不等于 $w$，则称其为真前缀或真后缀。
- 字典序 ：设 $\Sigma$ 是一个有序字母表，对于 $\Sigma^ $ 中的字，字典序定义如下：若满足以下两个条件之一，则 $w < x$：
- $w$ 是 $x$ 的真前缀；
- 存在字 $y$、$z$、$z’$ 和字母 $a < b$ 使得 $w = yaz$ 且 $x = ybz’$。例如，按照字母表的常规顺序，有 “common” < “con” < “conjugate”。通常，若 $w < x$ 或 $w = x$，则记为 $w \leq x$。
- 共轭字与Lyndon字 *：若存在字 $u$ 和 $v$ 使得 $w = uv$ 且 $x = vu$，则称 $w$ 是 $x$ 的共轭字。例如，“enlist” 和 “listen