【数据库】关系代数（除运算详解）

MrsBaek

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文章标签：数据库

于 2025-03-25 11:49:59 首次发布

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例题来源于教材《数据库系统概论第五版》

一、关系代数运算概述

（一）运算分类

关系代数运算：包括并、差、交、笛卡尔积、投影、选择、连接、除。
基本运算：并、差、笛卡尔积、投影、选择。交、连接、除可以用这 5 种基本运算来表达，引入它们虽不增加语言能力，但能简化表达。

（二）关系代数表达式与典型语言

关系代数表达式：关系代数运算经有限次复合后形成的式子。
典型关系代数语言：ISBL（Information System Base Language），由 IBM United Kingdom 研究中心研制，用于 PRTV（Peterlee Relational Test Vehicle）实验系统。

二、专门运算符

运算符	运算名称	含义
σ	选择	将满足条件的元组提取出来，
π	投影	将满足条件的属性提取出来，
⋈	连接	将满足条件的元组从笛卡尔积中提取出来，
÷	除	R÷S，体现 R 元素的象集与 S 的投影的对应关系，

三、除运算（Division）详解

（一）定义

给定关系 R (X, Y) 和 S (Y, Z)，其中 X，Y，Z 为属性组。

R 中的 Y 与 S 中的 Y 可以有不同的属性名，但必须出自相同的域集。

R 与 S 的除运算得到一个新的关系 P (X) ，

P (X) 是 R 关系中满足下列条件的元组在 X 属性列上的投影：

元组在 X 上分量值 x 的象集 Yx包含 S 在 Y 上投影的集合，记作：

（二）例题讲解

例 6：设关系 R、S 分别为下图的 (a) 和 (b)，求 R÷S 的结果。

Step1：在关系R中，A可以取四个值{a1，a2，a3，a4}

a1的象集为 {(b1，c2)，(b2，c3)，(b2，c1)}

a2的象集为 {(b3，c7)，(b2，c3)}

a3的象集为 {(b4，c6)}

a4的象集为 {(b6，c6)}

Step2：S 在(B，C)上的投影为

{(b1，c2)，(b2，c1)，(b2，c3) }

Step3：只有a1的象集包含了 S 在(B，C)属性组上的投影

所以 R÷S ={a1}

（三）除运算步骤

公式

第一步：计算
- 即对关系 R 在属性 X（这里假设为 A ）上进行投影，得到关系 R 中属性 A 的所有取值集合，这是后续运算的基础部分。
第二步：计算 得到 B
- 将第一步得到的投影结果（假设为 A ）与关系 S 进行笛卡尔积运算，生成关系 B。这一步扩大了数据规模，将 R 中与 S 相关的属性组合进行了全面的组合。
第三步：计算
- 用第二步得到的笛卡尔积结果 B 减去关系 R，得到一个新的关系（图中未单独命名，是计算过程中的中间过渡），这一步是在去除那些在 R 中存在的组合，留下多余的部分。
第四步：计算
- 对上一步得到的结果在属性 X（A ）上进行投影，得到关系 D。这一步是在提取上一步结果中与属性 A 相关的部分。
第五步：计算 得到
- 用第一步得到的减去第四步得到的关系 D，最终得到除运算的结果。在图中最终得出 =a{1}，意味着在关系 R 中，只有 a1满足除运算的条件，即其对应的相关属性组合包含了关系 S 中相关属性组合的情况。

例7.查询至少选修 1 号课程和 3 号课程的学生号码

构建临时关系 K
- 题目要求至少选修 1 号课程和 3 号课程，所以建立临时关系 K，K = {1, 3} ，它表示我们关注的课程集合，即 1 号课程和 3 号课程。
对选课关系 SC 进行投影
- 计算，这一步是从选课关系 SC 中投影出学生号码和课程号码两列，得到只包含学生选课对应关系的新关系。
- 例如，得到像 200215121 对应课程 1、2、3 ；200215122 对应课程 2、3 这样的信息，这里 200215121 的象集为 {1, 2, 3} ，200215122 的象集为 {2, 3} 。象集表示某个学生选修的所有课程集合。
进行除运算
- 计算。除运算的含义是在中，找出学生号码对应的象集包含临时关系 K 中所有课程（即 1 号和 3 号课程）的学生。
- 对于 200215121 ，其象集 {1, 2, 3} 包含了 K 中的 1 和 3 ；而 200215122 的象集 {2, 3} 不包含 K 中的 1 号课程。
- 所以经过除运算= \{200215121\}\) ，即满足至少选修 1 号课程和 3 号课程这个条件的学生号码是 200215121 。

例10.查询选修了全部课程的学生号码和姓名

涉及三个关系：学生关系 Student（包含学生号码 Sno 和姓名 Sname ）、课程关系 Course（包含课程号码 Cno ）、学生选课关系 SC（包含学生号码 Sno 和课程号码 Cno ）。

- 这一步是对学生选课关系 SC 进行投影操作。投影操作的作用是从关系中选取指定的属性列。这里选取 Sno（学生号码）和 Cno（课程号码）列，得到一个新关系，该关系只包含学生选课的对应信息，即哪些学生选了哪些课程。
- 是对课程关系 Course 进行投影操作，选取 Cno（课程号码）列，得到所有课程的课程号码集合。
- 然后进行除运算。除运算的意义是在中，找出学生号码对应的选课集合（象集）包含中所有课程号码的学生号码。也就是找出选修了全部课程的学生号码。例如，如果课程关系中有课程号 1、2、3 ，那么只有某个学生的选课记录中包含 1、2、3 这三个课程号时，该学生号码才会在除运算结果中。
- 是对学生关系 Student 进行投影操作，选取 Sno（学生号码）和 Sname（姓名）列。
- 最后进行连接运算。连接运算会将前面除运算得到的选修了全部课程的学生号码，与中对应的学生姓名进行匹配连接，从而得到选修了全部课程的学生号码和姓名信息。