2018 Multi-University Training Contest 4 - Problem B. Harvest of Apples （莫队）-优快云博客

本文介绍了一种使用莫队算法解决特定组合数学问题的方法。对于大量的查询请求（最多1e5次），每次需要计算两个数n和m（n，m<=1e5）之间的特定组合值。通过定义递推公式f(n+1,m)和f(n,m+1)，实现了高效求解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6333

题意：

每次给你一个n和m，让你求 $\sum_{i=0}^{m}C\binom{i}{n}$ 。

询问有1e5次，n，m<=1e5。

POINT：

把要所求的式子变为f(n,m)。可得：

f(n+1,m)=2*f(n,m)-C(n,m)

f(n,m+1)=f(n,m)+C(n,m+1).

这样，上下左右的递推公式便有了。就可以用莫队算法了。

#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <cmath>
using namespace std;
#define LL long long
const LL N = 1e5+55;
const LL M = 1e5+5;
const LL inf = 0x3f3f3f3f;
const LL MOD = 1e9+7;
LL a[N],Fac[N],Inv[N];
struct node
{
    LL l,r;
    LL id;
    LL ans;
}q[M];
LL bk[N];
bool cmp(node a,node b)
{
    if(bk[a.l]!=bk[b.l])
        return bk[a.l]<bk[b.l];
    else
        return a.r<b.r;
}
bool CMP(node a,node b)
{
    return a.id<b.id;
}

LL pow_mod(LL base,LL mi)
{
    LL ans=1;
    while(mi){
        if(mi&1) ans=ans*base%MOD;
        base=base*base%MOD;
        mi>>=1;
    }
    return  ans;
}

LL C(LL n,LL m)
{
    if(m>n) return 0;
    return Fac[n]*Inv[n-m]%MOD*Inv[m]%MOD;
}



void init()
{
    Fac[0] = 1;
    for (LL i = 1; i <= N; i++) Fac[i] = (Fac[i-1] * i) % MOD;
    Inv[N] = pow_mod(Fac[N], MOD-2);
    for (LL i = N - 1; i >= 0; i--) Inv[i] = Inv[i+1] * (i + 1) % MOD;
}

int main()
{

    init();
    LL block=sqrt(1e5);
    for(LL i=1;i<=1e5;i++) bk[i]=(i-1)/block;
    LL n;scanf("%lld",&n);
    for(LL i=1;i<=n;i++){
        scanf("%lld%lld",&q[i].l,&q[i].r);
        q[i].id=i;
    }
    sort(q+1,q+1+n,cmp);
    LL l=1,r=1,ans=2;
    for(LL i=1;i<=n;i++){
        while(l<q[i].l){
            ans=(2*ans-C(l,r)+MOD)%MOD;
            l++;
        }
        while(l>q[i].l){
            l--;
            ans=(ans+C(l,r))*Inv[2]%MOD;
        }
        while(r<q[i].r){
            r++;
            ans=(ans+C(l,r))%MOD;

        }
        while(r>q[i].r){
            ans=(ans-C(l,r)+MOD)%MOD;
            r--;
        }
        q[i].ans=ans;
    }
    sort(q+1,q+1+n,CMP);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        printf("%lld\n",q[i].ans);

    return 0;
}