分Bin的求法

功率谱$C_l$具有如下的表示：
$$⟨a_{lm}{a}_{l^{\prime }{m}^{\prime }}^{\ast }⟩={\delta }_{l{l}^{\prime }}{\delta }_{m{m}^{\prime }}{C}_{\ell }$$
这里是系综平均。
对于理论上的功率谱$C_{\ell }$, 可以通过CAMB直接生成。通常假设上式中$a_{lm}$服从高斯分布。
反推$a_{lm}$有：$a_{lm}=\sqrt{(}{C}_{\ell })\times g$, $g$是高斯函数,比如可以假设服从N（0，1）分布。
于是可以得到

• 第一个 宇宙(天图)：$a_0,a_{10},a_{11},a_{20},a_{21},a_{22}...$
  上面有以下几点说明：1）$a_0=\sqrt{(}{C}_0)\times g,a_{10}=\sqrt{(}{C}_1)\times g,a_{11}=\sqrt{(}{C}_1)\times g,a_{20}=\sqrt{(}{C}_2)\times g,a_{21}=\sqrt{(}{C}_2)\times g,...$,这里在求$a_{10},a_{11}$时虽然是同一个$C_1$, 但是高斯分布不一样，所以值是不同的. 2）实际计算过程中$\ell$最小值是2，不是0. 3) $a_{1-1}=a_{11}$
• 第二个宇宙： $a_0,a_{10},a_{11},a_{20},a_{21},a_{22}...$
  计算过程跟上面一样，只是表示的是第二个天图。
  注：$\left(\frac{\Delta C}{C}\right)={\sum }_{\ell =0}^{\infty }{\sum }_{m=-\ell }^{m=\ell }{a}_{lm}{Y}_{lm}$, 这里$Y_{lm}(\theta ,\varphi )$是球谐函数，是角度的函数。
• 第三个宇宙
• …
• …

在得到足够多的天图之后(比如生成1000张)，现在要计算$C_{\ell }$. 利用公式
$$⟨a_{lm}{a}_{l^{\prime }{m}^{\prime }}^{\ast }⟩={\delta }_{l{l}^{\prime }}{\delta }_{m{m}^{\prime }}{C}_{\ell }$$
即$C_{\ell }=\frac{1}{2\ell +1}{\sum }_m{a}_{lm}^2$, 这里因为$a是实数数值，所以复共轭是本身$
$$C_0=a_{00}^2,C_1=\frac{1}{3}(a_{1-1}^2+a_{10}^2+a_{11}^2)...$$
对每个宇宙都一样的求法，就可以得到$C_0,C_1,C_2...$, 即

• 第一个宇宙 $C_0,C_1,C_2...$
• 第二个宇宙 $C_0,C_1,C_2...$
• 第三个宇宙 $C_0,C_1,C_2...$
• 第四个宇宙 $C_0,C_1,C_2...$
• …

如果要求bin，比如$\ell 从1-10$求一个bin，则有$C_0^{b0}=\frac{1}{10}\left(C_0+...+C_{10}\right)$

• 第一个宇宙 $C_0^{b0},C_1^{b1},C_2^{b2}...$
• 第二个宇宙 $C_0^{b0},C_1^{b1},C_2^{b2}...$
• 第三个宇宙 $C_0^{b0},C_1^{b1},C_2^{b2}...$
• 第四个宇宙 $C_0^{b0},C_1^{b1},C_2^{b2}...$
• …
• 第M个宇宙 $C_0^{b0},C_1^{b1},C_2^{b2}...$
  先看$C_0^{b0}$, 将这M个宇宙的$C_0^{b0}$值画出来，就可以知道这些$C_0^{b0}$的分布：
  
  但是fitting出分布其实有点儿麻烦，这里也不讲分布的事情。而是求分bin后的error.
  $$\Delta C_l^{b0}=\frac{1}{M}({\hat{C}}_0^{b0}-\mu {)}^2$$
  实际上就是求方差variance， 将所有的variance求出来即可。