动态规划算法-----找零钱问题（求最优解）

动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。动态规划算法与分治法类似，其基本思想都是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到的子问题往往不是互相独立的。如果我们能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，这样就可以避免大量的重复计算，节省时间。我们可以用一个表（备用表）来记录所有已解的子问题的答案。不管该子问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中。这就是动态规划法的基本思路。

能采用动态规划求解的问题的一般要具有3个性质：
（1）最优化原理：如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的，就称该问题具有最优子结构，即满足最优化原理。
（2）无后效性：即某阶段状态一旦确定，就不受这个状态以后决策的影响。也就是说，某状态以后的过程不会影响以前的状态，只与当前状态有关。
（3）有重叠子问题：即子问题之间是不独立的，一个子问题在下一阶段决策中可能被多次使用到。（该性质并不是动态规划适用的必要条件，但是如果没有这条性质，动态规划算法同其他算法相比就不具备优势）。

动态规划算法解决换零钱问题。
现存在一堆面值为 1,2,5,11,20,50 面值的硬币，问最少需要多少个硬币才能找出总值为 N个单位的零钱
动态规划算法思路：
记d{n}={}表示兑换面值为n的最优解组合为{x1,x2,x3…}
从子问题出发，取0元只有一种方法为{0}，即d(0)={0}，取1元（0+1)元，最优解为1元+0元，即d(0)+1={0,1}={1};
取2元有两种方式，即d(0)+2={2}或d(1)+1={1,1}，易知最化解为{2}……
以此累推，兑换面值为n的最优解为d(n)=max{d(n-i)+i}，其中(i<=n)
当硬币数量无限时，程序代码如下：

public static void changeCoins(int[] coins,int money) {
        /*保存面值为i的纸币找零所需的最小硬币数*/
        int [] coinsUsed = new int [money+1];
        /*硬币种类数量*/
        int valueKinds = coins.length;
        /*0元的最优解*/
        coinsUsed[0] = 0;

        Map<Integer,HashMap<Integer,Integer>> coinChangeMap = new HashMap<Integer,HashMap<Integer,Integer>>();

        /*从1 - money先求子问题的最优解*/
        for(int cents = 1;cents<=money;cents++) {
            /*当用最小币值的硬币找零时，所需硬币数量最多*/    
            int minCount = cents;    
            /*保存各个面值的具体找零方案*/  
            HashMap<Integer,Integer> minCoinMap = new HashMap<Integer,Integer>();
            /*遍历每一种面值的硬币，看是否可作为找零的其中之一*/
            for(int kind =0;kind<valueKinds;kind++) {
                /*当前面值*/
                int coinVal = coins[kind];
                int oppCoinVal = cents - coinVal;
                /*若当前面值的硬币小于当前的cents则分解问题并查表*/
                if(coinVal <=cents) {   
                    int tempCount = coinsUsed[oppCoinVal]+1;
                    if(tempCount<=minCount) {
                        /*子问题的最优解*/  
                        HashMap<Integer,Integer> subMap = coinChangeMap.get(oppCoinVal);    
                        HashMap<Integer,Integer> tmpMap = new HashMap<Integer,Integer>();  
                        if(subMap!=null) {
                            /*取到了子问题的最优解*/
                            tmpMap.putAll(subMap);
                        }
                        /*子问题的最优解+剩下面值 ->整个问题的最优解决*/
                        if(tmpMap.containsKey(coinVal)) {
                            tmpMap.put(coinVal, subMap.get(coinVal)+1);  
                        }else {
                            tmpMap.put(coinVal, 1);
                        }
                        minCount = tempCount;
                        minCoinMap = tmpMap;
                    }
                }
            }
            // 保存最小硬币数    
            coinsUsed[cents] = minCount;   
            coinChangeMap.put(cents, minCoinMap);  
            getArrayItem(coinsUsed);
            System.out.println("面值为 " + (cents) + " 的最小硬币数 : "   + minCount+",货币为"+ minCoinMap); 
            }    
    }

 public static void main(String[] args) {    
            // 硬币面值预先已经按降序排列    
            int[] coinValue = new int[] { 50, 20, 11, 5, 2,1 };    
            // 需要找零的面值    
            int money = 23;    
            // 保存每一个面值找零所需的最小硬币数，0号单元舍弃不用，所以要多加1    
            changeCoins(coinValue,  money);    
        }    

运行截图：