leetcode 940. Distinct Subsequences II

本文深入探讨了计算字符串中不重复子序列数量的算法,详细解析了状态转移方程,利用二维状态数组进行动态规划,同时介绍了辅助数组P的作用及状态转移过程,通过实例代码展示了算法的具体实现。

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1. 相关表示

符号含义备注
S[n]S[n]S[n]表示长度为n的字符串
S[n][n]S[n][n]S[n][n]二维状态数组二维状态数组S[i][j]表示前i个字符组成的distinctsubsequences的个数,且该subsequences的长度为j+1(从0开始)S[i][j]表示前i个字符组成的distinct subsequences的个数,且该subsequences的长度为j+1(从0开始)S[i][j]idistinctsubsequencessubsequencesj+10
P[n]P[n]P[n]辅助数组辅助数组P[i]表示距离字符S[i]最近且S[P[i]]==S[i]P[i]表示距离字符S[i]最近且S[P[i]] == S[i]P[i]S[i]S[P[i]]==S[i]

2. 状态转移方程:

S[i][j]的状态无非和S[i−1][j−1],S[i−1][j]和S[i][j−1]有关。其中,S[i][j−1]可以直接排除,因为它们之间没有状态转移关系。S[i][j]的状态无非和S[i-1][j-1],S[i-1][j]和S[i][j-1]有关。其中,S[i][j-1]可以直接排除,因为它们之间没有状态转移关系。S[i][j]S[i1][j1],S[i1][j]S[i][j1]S[i][j1]

a.S[i−1][j]表示字符串S[n]前i−1个字符包含长度为j+1的distinct subsequences的个数。因为i>i−1,所以S[i][j]包含S[i−1][j]。a. S[i-1][j]表示字符串S[n]前i-1个字符包含长度为j+1的distinct \ subsequences的个数。因为i>i-1,所以S[i][j]包含S[i-1][j]。a.S[i1][j]S[n]i1j+1distinct subsequencesi>i1S[i][j]S[i1][j]

b.S[i−1][j−1]表示字符串S[n]前i−1个字符包含长度为j的distinct subsequences的个数。所以当新增一个字符S[i]时,该字符S[i]同S[i−1][j−1]表示的长度为j的不同的子串可以转换成长度为j+1的子串。b. S[i-1][j-1]表示字符串S[n]前i-1个字符包含长度为j的distinct \ subsequences的个数。所以当新增一个字符S[i]时,该字符S[i]同S[i-1][j-1]表示的长度为j的不同的子串可以转换成长度为j+1的子串。b.S[i1][j1]S[n]i1jdistinct subsequencesS[i]S[i]S[i1][j1]jj+1

c.因为子串长度为j的S[i−1][j−1]是通过和字符S[i]合并组成子串长度为j+1S[i][j]的一部分,而这新的一部分,可能会同原本长度为j+1的S[i−1][j]的重复。重复的部分有一个共性就是都是以字符S[i]结尾的。所以只要删除S[i−1][j]中以字符S[i]结尾的即可。即删除前i−1个字符中以S[i]为结尾且长度为j+1的子串。c. 因为子串长度为j的S[i-1][j-1]是通过和字符S[i]合并组成子串长度为j+1S[i][j]的一部分,而这新的一部分,可能会同原本长度为j+1的S[i-1][j]的重复。重复的部分有一个共性就是都是以字符S[i]结尾的。所以只要删除S[i-1][j]中以字符S[i]结尾的即可。即删除前i-1个字符中以S[i]为结尾且长度为j+1的子串。c.jS[i1][j1]S[i]j+1S[i][j]j+1S[i1][j]S[i]S[i1][j]S[i]i1S[i]j+1

具体流程是:先再前i-1个字符找到距离字符S[i]最近且字符等于S[i]的,得到P[i]。P[i]就是该字符的位置。然后可以得到前P[i]-1个字符的长度为j的子串的个数。最后,减去该数。

S[i][j]=S[i−1][j−1]+S[i−1][j]−{0P[i]==−1,0≤i,j<nS[P[i]−1][j−1]P[i]!=−1,0≤i,j<n S[i][j]=S[i-1][j-1] + S[i-1][j] - \left\{ \begin{array}{rcl} 0 & P[i]==-1 ,0\leq i,j \lt n \\ S[P[i]-1][j-1] & P[i]!=-1 ,0\leq i,j \lt n \end{array} \right. S[i][j]=S[i1][j1]+S[i1][j]{0S[P[i]1][j1]P[i]==1,0i,j<nP[i]!=1,0i,j<n

3. 代码

class Solution {
public:
    int distinctSubseqII(string S) {
        int i,j;
        long long int res = 0;
        vector<vector<long long int> > vvi(S.size(),vector<long long int>(S.size()));
        vector<int> vi1(S.size());
        vector<int> vi2('z'-'a'+1,-1);
        for(i=0;i<S.size();++i){
            vi1[i] = vi2[S[i]-'a'];
            vi2[S[i]-'a']=i;
        }
        vvi[0][0] = 1; // for pos 0 and max length is 1
        for(i=1;i<S.size();++i){  //pos start from pos 1
            if(vi1[i]==-1){
                vvi[i][0] = vvi[i-1][0]+1; //new character
            }else{
                vvi[i][0] = vvi[i-1][0];
            }
            for(j=1;j<=i;++j){ 
                vvi[i][j] = vvi[i-1][j-1] + vvi[i-1][j];
                if(vi1[i]!=-1){
                    if(vi1[i] > 0)
                        vvi[i][j] -= vvi[vi1[i]-1][j-1];
                }
                vvi[i][j] %= 1000000007;
            }
        }
        for(i=0;i<S.size();++i){
            res += vvi[S.size()-1][i];
            res %= 1000000007;
        }
        return res;
    }
};
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