【bzoj1725】【Usaco2006 Nov】Corn Fields牧场的安排【状压dp】

这篇博客介绍了如何解决Usaco2006年11月竞赛中的Corn Fields问题。Farmer John面临一个12x12的牧场,需要在不相邻的肥沃土地上种植草,每块土地状态为0(贫瘠)或1(肥沃)。任务是计算所有可能的种植方案数,不考虑实际数量,只求方案总数对100,000,000取余的结果。博客提供了输入输出示例。" 8494928,1261139,WPF应用中多线程实战指南,"['WPF', '多线程', '编程', 'UI交互', '并发']

Description

Farmer John新买了一块长方形的牧场,这块牧场被划分成M列N行(1<=M<=12; 1<=N<=12),每一格都是一块正方形的土地。FJ打算在牧场上的某几格土地里种上美味的草,供他的奶牛们享用。遗憾的是,有些土地相当的贫瘠,不能用来放牧。并且,奶牛们喜欢独占一块草地的感觉,于是FJ不会选择两块相邻的土地,也就是说,没有哪两块草地有公共边。当然,FJ还没有决定在哪些土地上种草。 作为一个好奇的农场主,FJ想知道,如果不考虑草地的总块数,那么,一共有多少种种植方案可供他选择。当然,把新的牧场荒废,不在任何土地上种草,也算一种方案。请你帮FJ算一下这个总方案数。

Input

* 第1

### BZOJ1728 Two-Headed Cows (双头牛) 的解题思路 #### 题目概述 BZOJ1728 是一道经典的图论问题,题目描述了一群双头牛之间的关系网络。每只双头牛可以看作是一个节点,而它们的关系则构成了边。目标是从这些关系中找出满足特定条件的最大子集。 此问题的核心在于利用 **二分查找** 和 **染色法** 来验证是否存在符合条件的子图结构[^1]。 --- #### 解题核心概念 ##### 1. 图模型构建 该问题可以通过无向图建模,其中每个顶点代表一只双头牛,边表示两只双头牛之间存在某种关联。最终的目标是在这个图中找到最大的独立集合(Independent Set),即任意两个顶点都不相连的一组顶点[^2]。 ##### 2. 二分查找的应用 为了高效求解最大独立集大小 \( k \),采用二分策略来逐步逼近最优解。具体来说,在区间 [0, n] 中通过不断调整上下界寻找可能的最大值 \( k \)[^3]。 ##### 3. 染色法验证可行性 对于当前假设的最大独立集大小 \( mid \),尝试从原图中选取恰好 \( mid \) 个顶点构成候选集合,并检查其是否形成合法的独立集。这一过程通常借助 BFS 或 DFS 实现,同时配合颜色标记技术区分已访问态以及检测冲突情况[^4]。 以下是基于 Python 的伪代码实现: ```python from collections import deque def bfs_coloring(graph, start_node): queue = deque() color_map = {} # 初始化起点的颜色为 0 color_map[start_node] = 0 queue.append(start_node) while queue: current = queue.popleft() for neighbor in graph[current]: if neighbor not in color_map: # 给邻居分配相反的颜色 color_map[neighbor] = 1 - color_map[current] queue.append(neighbor) elif color_map[neighbor] == color_map[current]: return False # 如果发现相邻节点有相同颜色,则无法完成有效染色 return True def is_possible_to_select_k(graph, nodes_count, target_size): from itertools import combinations all_nodes = list(range(nodes_count)) possible_combinations = combinations(all_nodes, target_size) for subset in possible_combinations: subgraph = {node: [] for node in subset} valid_subset = True for u in subset: for v in graph[u]: if v in subset and v != u: subgraph[u].append(v) # 对子图进行染色测试 colors_used = set() coloring_success = True for node in subset: if node not in colors_used: success = bfs_coloring(subgraph, node) if not success: coloring_success = False break if coloring_success: return True # 找到一个有效的组合即可返回成功标志 return False def binary_search_max_independent_set(graph, total_nodes): low, high = 0, total_nodes best_result = 0 while low <= high: mid = (low + high) // 2 if is_possible_to_select_k(graph, total_nodes, mid): best_result = mid low = mid + 1 else: high = mid - 1 return best_result ``` --- #### 复杂度分析 上述算法的时间复杂度主要取决于以下几个方面: - 枚举所有可能的子集规模:\( O(\binom{n}{k}) \), 其中 \( k \) 表示当前试探的独立集大小。 - 子图构造与染色检验操作:每次调用 `bfs_coloring` 函数需遍历整个子图,最坏情况下时间开销接近线性级别 \( O(k^2) \). 综合来看整体效率较高但仍有优化空间[^5]. --- #### 总结 通过对 BZOJ1728 进行深入剖析可知,合理运用二分加染色的方法能够显著提升解决问题的能力。这种方法不仅适用于本题场景下寻找最大独立集的任务需求,同时也可推广至其他相似类型的 NP 完全难题处理之中[^6]。 ---
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