《机器学习实战：基于Scikit-Learn、Keras和TensorFlow第2版》-学习笔记（4）：训练模型

第四章 训练模型

· Hands-On Machine Learning with Scikit-Learn, Keras, and TensorFlow, 2nd Edition, by Aurélien Géron (O’Reilly). Copyright 2019 Aurélien Géron, 978-1-492-03264-9.
· 环境：Anaconda（Python 3.8） + Pycharm
· 学习时间：2022.04.16

到目前为止，我们已经探讨了不同机器学习的模型，但是它们各自的训练算法在很大程度上还是一个黑匣子。回顾前几章里的部分案例，你大概感到非常惊讶，在对系统内部一无所知的情况下，居然已经实现了这么多：优化了一个回归系统，改进了一个数字图片分类器，从零开始构建了一个垃圾邮件分类器，所有这些，你都不知道它们实际是如何工作的。确实是这样，在许多情况下，你并不需要了解实施细节。

但是，很好地理解系统如何工作也是非常有帮助的。针对你的任务，它有助于快速定位到合适的模型、正确的训练算法，以及一套适当的超参数。不仅如此，后期还能让你更高效地执行错误调试和错误分析。最后还要强调一点，本章探讨的大部分主题对于理解、构建和训练神经网络（本书第二部分）是至关重要的。

本章我们将从最简单的模型之一——线性回归模型，开始介绍两种非常不同的训练模型的方法：

• 通过“闭式”方程，直接计算出最拟合训练集的模型参数（也就是使训练集上的成本函数最小化的模型参数）；
• 使用迭代优化的方法，即梯度下降（GD），逐渐调整模型参数直至训练集上的成本函数调至最低，最终趋同于第一种方法计算出来的模型参数。我们还会研究几个梯度下降的变体，包括批量梯度下降、小批量梯度下降以及随机梯度下降。等我们进入到第二部分神经网络的学习时，会频繁地使用这几个的变体。

接着我们将会进入多项式回归的讨论，这是一个更为复杂的模型，更适合非线性数据集。由于该模型的参数比线性模型更多，因此更容易造成对训练数据过拟合，我们将使用学习曲线来分辨这种情况是否发生。然后，再介绍几种正则化技巧，降低过拟合训练数据的风险。

最后，我们将学习两种经常用于分类任务的模型：Logistic回归和Softmax回归。

本章将会出现不少数学公式，需要用到线性代数和微积分的一些基本概念。要理解这些方程式，你需要知道什么是向量和矩阵，如何转置向量和矩阵，什么是点积、逆矩阵、偏导数。如果你不熟悉这些概念，请先通过在线补充材料中的Jupyter notebook，进行线性代数和微积分的入门学习。对于极度讨厌数学的读者，还是需要学习这一章，但是可以跳过那些数学公式，希望文字足以让你了解大多数的概念。

4.1 线性回归

线性模型就是对输入特征加权求和，再加上一个我们称为偏置项（也称为截距项）的常数，以此进行预测。
$$y={\theta }_0+{\theta }_1{x}_1+{\theta }_2{x}_2+\dots \dots +{\theta }_n{x}_n$$
线性回归模型预测（向量化形式）：$y=h_{\theta }(x)=\theta \cdot x$。

在机器学习中，向量通常表示为列向量，是有单一列的二维数组。如果$\theta$和$x$为列向量，则预测为$y = θ^Tx $，其中$θ^{T$为$θ$（行向量而不是列向量）的转置，且$θ}Tx$为\theta$T$和$x$的矩阵乘积。

这就是线性回归模型，我们该怎样训练线性回归模型呢？回想一下，训练模型就是设置模型参数直到模型最拟合训练集的过程。为此，我们首先需要知道怎么测量模型对训练数据的拟合程度是好还是差。在第2章中，我们了解到回归模型最常见的性能指标是均方根误差（RMSE）。因此，在训练线性回归模型时，你需要找到最小化RMSE的$\theta$值。在实践中，将均方误差（MSE）最小化比最小化RMSE更为简单，二者效果相同（因为使函数最小化的值，同样也使其平方根最小）。

线性回归模型的MSE成本函数：$MSE=(X,h_0)=\frac{1}{m}{\sum }_{i=1}^m({\theta }^T{x}^{(i)}-y^{(i)}{)}^2$。

4.1.1 标准方程

为了得到使成本函数最小的θ值，有一个闭式解方法——也就是一个直接得出结果的数学方程，即标准方程。

${\theta }^{\prime }=(X^{T}X{)}^{-1}{X}^{T}y$，我们生成一些线性数据来测试这个公式：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 随机生成数据
X = 2 * np.random.rand(100, 1)
y = 4 + 3 * X + np.random.randn(100, 1)

X_b = np.c_[np.ones((100, 1)), X]  # add x0 = 1 to each instance
theta_best = np.linalg.inv(X_b.T.dot(X_b)).dot(X_b.T).dot(y)  # dot（）方法计算矩阵内积

print(theta_best)
# 输出：期待的是θ0=4，θ1=3得到的是θ0=3.6，θ1=3.2。非常接近，噪声的存在使其不可能完全还原为原本的函数

# 根据参数做出预测
X_new = np.array([[0], [2]])
X_new_b = np.c_[np.ones((2, 1)), X_new]  # add x0 = 1 to each instance
y_predict = X_new_b.dot(theta_best)
print(y_predict)

# 绘制模型的预测结果
plt.plot(X_new, y_predict, "r-")
plt.plot(X, y, "b.")
plt.axis([0, 2, 0, 15])
plt.show()

使用Scikit-Learn执行线性回归很简单：

from sklearn.linear_model import LinearRegression

lin_reg = LinearRegression()  # 实例化线性模型
lin_reg.fit(X, y)  # 训练模型

print(lin_reg.intercept_, lin_reg.coef_)  # 输出模型训练后的参数
print(lin_reg.predict(X_new))  # 进行预测

# LinearRegression类基于scipy.linalg.lstsq（）函数（名称代表“最小二乘”），你可以直接调用它：
theta_best_svd, residuals, rank, s = np.linalg.lstsq(X_b, y, rcond=1e-6)
print(theta_best_svd)  # 输出最优的参数

# LinearRegression()模型的参数和scipy.linalg.lstsq()函数的参数输出是一致的

scipy.linalg.lstsq()函数计算${\theta }^{\prime }=X^{}$