NKOJ 3941 （HNOI 2014）世界树（虚树+树形dp+倍增）

P3941[Hnoi2014]世界树

问题描述

世界树是一棵无比巨大的树，它伸出的枝干构成了整个世界。在这里，生存着各种各样的种族和生灵，他们共同信奉着绝对公正公平的女神艾莉森，在他们的信条里，公平是使世界树能够生生不息、持续运转的根本基石。
世界树的形态可以用一个数学模型来描述：世界树中有n个种族，种族的编号分别从1到n，分别生活在编号为1到n的聚居地上，种族的编号与其聚居地的编号相同。有的聚居地之间有双向的道路相连，道路的长度为1。保证连接的方式会形成一棵树结构，即所有的聚居地之间可以互相到达，并且不会出现环。定义两个聚居地之间的距离为连接他们的道路的长度；例如，若聚居地a和b之间有道路，b和c之间有道路，因为每条道路长度为1而且又不可能出现环，所卧a与c之间的距离为2。
出于对公平的考虑，第i年，世界树的国王需要授权m[i]个种族的聚居地为临时议事处。对于某个种族x（x为种族的编号），如果距离该种族最近的临时议事处为y（y为议事处所在聚居地的编号），则种族x将接受y议事处的管辖（如果有多个临时议事处到该聚居地的距离一样，则y为其中编号最小的临时议事处）。
现在国王想知道，在q年的时间里，每一年完成授权后，当年每个临时议事处将会管理多少个种族（议事处所在的聚居地也将接受该议事处管理）。 现在这个任务交给了以智慧著称的灵长类的你：程序猿。请帮国王完成这个任务吧。

输入格式

第一行为一个正整数n，表示世界树中种族的个数。
接下来n-l行，每行两个正整数x，y，表示x聚居地与y聚居地之间有一条长度为1的双
向道路。接下来一行为一个正整数q，表示国王询问的年数。
接下来q块，每块两行：
第i块的第一行为1个正整数m[i]，表示第i年授权的临时议事处的个数。
第i块的第二行为m[i]个正整数h[l]、h[2]、…、h[m[i]]，表示被授权为临时议事处的聚居地编号（保证互不相同）。

输出格式

输出包含q行，第i行为m[i]个整数，该行的第j(j=1，2…，，m[i])个数表示第i年被授权的聚居地h[j]的临时议事处管理的种族个数。

样例输入

10
2 1
3 2
4 3
5 4

6 1
7 3
8 3
9 4
10 1
5

2
6 1
5
2 7 3 6 9
1

8
4
8 7 10 3
5
2 9 3 5 8

样例输出

1 9
3 1 4 1 1
10
1 1 3 5
4 1 3 1 1

提示

N<=300000, q<=300000,m[1]+m[2]+…+m[q]<=300000

---

注意到多次询问的点总数和n同阶，考虑虚树。
构建好虚树后，在虚树上做两次树dp，算出到每个点距离最近的关键点，然后统计答案。
注意到有些点不在虚树中，但也要统计答案，这些点可以分成两类，一类是在虚树中两点之间的点，一类是虚树中点的（不在虚树中的）子树中的点。
对于第二类点，可以在虚树上用原size减去在虚树中的子树的size，注意这里的size需要倍增找到该点在原树中的儿子。
对于第一类点，可以枚举一条虚树中的边，然后在边上倍增找到中点，然后将两段的size分别加到两端的最近点上。
总时间复杂度$O(n\log n)$

---

代码：

#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define N 600005
using namespace std;
int n,q,P[N],ans[N],Q[N],top,cnt,PP[N];
int dfn[N],VT,F[N],G[N],Sum[N],Size[N];
bool mark[N];
int dep[N],fa[N][20],S=19;
int TOT,LA[N],NE[N],EN[N];
int tot,la[N],ne[N],st[N],en[N],le[N];
bool cmp(int x,int y)
{return dfn[x]<dfn[y];}
void ADD(int x,int y)
{
    TOT++;
    EN[TOT]=y;
    NE[TOT]=LA[x];
    LA[x]=TOT;
}
void add(int x,int y,int z)
{
    tot++;
    st[tot]=x;
    en[tot]=y;
    le[tot]=z;
    ne[tot]=la[x];
    la[x]=tot;
}
void DFS(int x,int f)
{
    int i,y;
    Size[x]=1;
    dfn[x]=++VT;
    fa[x][0]=f;
    dep[x]=dep[f]+1;
    for(i=1;i<=S;i++)fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];
    for(i=LA[x];i;i=NE[i])
    {
        y=EN[i];
        if(y!=f)DFS(y,x),Size[x]+=Size[y];
    }
}
int LCA(int x,int y)
{
    if(!x||!y)return 0;
    if(dep[x]<dep[y])swap(x,y);
    int i,t=dep[x]-dep[y];
    for(i=0;i<=S;i++)
    if(t>>i&1)x=fa[x][i];
    if(x==y)return x;
    for(i=S;i>=0;i--)
    if(fa[x][i]!=fa[y][i])x=fa[x][i],y=fa[y][i];
    return fa[x][0];
}
void BT()
{
    int i,lca;
    if(!mark[1])Q[++top]=1;
    for(i=1;i<=cnt;i++)
    {
        lca=LCA(P[i],Q[top]);
        if(lca==Q[top]){Q[++top]=P[i];continue;}
        while(dep[lca]<dep[Q[top-1]])
        {
            add(Q[top-1],Q[top],dep[Q[top]]-dep[Q[top-1]]);
            top--;
        }
        add(lca,Q[top],dep[Q[top]]-dep[lca]);
        if(lca!=Q[--top])Q[++top]=lca;
        Q[++top]=P[i];
    }
    while(--top)add(Q[top],Q[top+1],dep[Q[top+1]]-dep[Q[top]]);
}
int Gsi(int x,int f)
{
    int i;
    for(i=S;i>=0;i--)if(dep[fa[x][i]]>dep[f])x=fa[x][i];
    return Size[x];
}
void DP1(int x)
{
    int i,y;F[x]=G[x]=1e9;Sum[x]=Size[x];
    if(mark[x])F[x]=0,G[x]=x;
    for(i=la[x];i;i=ne[i])
    {
        y=en[i];DP1(y);Sum[x]-=Gsi(y,x);
        if(F[y]+le[i]<F[x])F[x]=F[y]+le[i],G[x]=G[y];
        else if(F[y]+le[i]==F[x]&&G[y]<G[x])G[x]=G[y];
    }
}
void DP3(int x,int d,int f)
{
    if(x!=1)
    {
        if(F[x]>F[f]+d)F[x]=F[f]+d,G[x]=G[f];
        else if(F[x]==F[f]+d&&G[x]>G[f])G[x]=G[f];
    }
    for(int i=la[x];i;i=ne[i])DP3(en[i],le[i],x);
}
void DP2(int x)
{
    ans[G[x]]+=Sum[x];
    for(int i=la[x];i;i=ne[i])DP2(en[i]);
    la[x]=mark[x]=0;
}
int Gans(int x,int t)
{
    int sum=0,i;
    for(i=0;i<=S;i++)
    if(t>>i&1)sum+=Size[fa[x][i]]-Size[x],x=fa[x][i];
    return sum;
}
int main_main()
{
    int i,j,k,x,y,d;
    scanf("%d",&n);
    for(i=1;i<n;i++)
    {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        ADD(x,y);ADD(y,x);
    }
    DFS(1,0);
    scanf("%d",&q);
    for(i=1;i<=q;i++)
    {
        scanf("%d",&cnt);
        for(j=1;j<=cnt;j++)scanf("%d",&P[j]),mark[P[j]]=1,PP[j]=P[j];
        sort(P+1,P+cnt+1,cmp);tot=0;
        BT();DP1(1);DP3(1,0,0);DP2(1);
        for(j=1;j<=tot;j++)
        {
            if(le[j]==1)continue;
            x=st[j];y=en[j];
            if(dep[x]<dep[y])swap(x,y);
            if(G[x]==G[y])ans[G[x]]+=Gans(x,dep[x]-dep[y]-1);
            else
            {
                k=le[j]-1-(F[x]-F[y]);
                d=Gans(x,(k>>1)+(G[x]<G[y]?k&1:0));
                ans[G[x]]+=d;
                ans[G[y]]+=Gans(x,dep[x]-dep[y]-1)-d;
            }
        }
        for(j=1;j<=cnt;j++)printf("%d ",ans[PP[j]]),ans[PP[j]]=0;
        puts("");
    }
}
const int main_stack=16;   
char my_stack[128<<20];   
int main() {   
  __asm__("movl %%esp, (%%eax);\n"::"a"(my_stack):"memory");   
  __asm__("movl %%eax, %%esp;\n"::"a"(my_stack+sizeof(my_stack)-main_stack):"%esp");   
  main_main();   
  __asm__("movl (%%eax), %%esp;\n"::"a"(my_stack):"%esp");   
  return 0;   
}