bzoj 3572: [Hnoi2014]世界树

最新推荐文章于 2020-01-13 20:23:43 发布

原创最新推荐文章于 2020-01-13 20:23:43 发布 · 513 阅读

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Description

世界树是一棵无比巨大的树，它伸出的枝干构成了整个世界。在这里，生存着各种各样的种族和生灵，他们共同信奉着绝对公正公平的女神艾莉森，在他们的信条里，公平是使世界树能够生生不息、持续运转的根本基石。
世界树的形态可以用一个数学模型来描述：世界树中有n个种族，种族的编号分别从1到n，分别生活在编号为1到n的聚居地上，种族的编号与其聚居地的编号相同。有的聚居地之间有双向的道路相连，道路的长度为1。保证连接的方式会形成一棵树结构，即所有的聚居地之间可以互相到达，并且不会出现环。定义两个聚居地之间的距离为连接他们的道路的长度；例如，若聚居地a和b之间有道路，b和c之间有道路，因为每条道路长度为1而且又不可能出现环，所卧a与c之间的距离为2。
出于对公平的考虑，第i年，世界树的国王需要授权m[i]个种族的聚居地为临时议事处。对于某个种族x（x为种族的编号），如果距离该种族最近的临时议事处为y（y为议事处所在聚居地的编号），则种族x将接受y议事处的管辖（如果有多个临时议事处到该聚居地的距离一样，则y为其中编号最小的临时议事处）。
现在国王想知道，在q年的时间里，每一年完成授权后，当年每个临时议事处将会管理多少个种族（议事处所在的聚居地也将接受该议事处管理）。现在这个任务交给了以智慧著称的灵长类的你：程序猿。请帮国王完成这个任务吧。

虚树这个算法很妙啊。

大概讲一下虚树这个算法吧。

虚树这个东西是用来处理多次询问一棵树的某一个点集的某先情况的做法。简单来说就是把这些询问的点和他们两两的lca求出来，建一棵树来跑dp或者其他算法。而这个两两的lca不会超过询问的点的个数个，这个在算法的实现中会发现的，大概实现如下。

首先把所有询问的点按照在原树的dfs序排序，我们还需要一个栈来维护从根到当前节点的链。

每新枚举到一个点，如果栈为空，直接入栈，否则求它和栈顶的lca。对于这个lca和栈顶元素的dfs序有下面三种关系：

1. 两者相等，说明lca就是栈顶，直接把当前元素入栈。

2. lca的dfs序是小于栈顶的dfs序，但是又大于栈顶下面元素的dfs序，这个时候就让栈顶出栈，让lca入栈。因为我们按照dfs排序了，所以此时由于lca不是栈顶，所以栈顶的子树不会再考虑了，所以可以毫不犹豫的让栈顶出栈。

3.lca的dfs序小于栈顶，也小于栈顶下面那个元素，那就一直pop到出现第一或者第二种两种情况。

由于存在第二种情况，类似于给栈中间插入了一个点，所以不能在入栈的时候建边，而是应该在一个元素出栈的时候和应该为他父亲的点连边，对于第二种情况就是lca连一条到被弹出栈顶元素的边，对于第三种情况就是栈顶下面的元素连弹出的元素。

这个就是虚树了。

对于这个题呢，我们对询问建一棵虚树，对于每个关键点肯定都是被自己管辖，但是由于我们加入到虚树的lca我们是不确定的，所以我们通过dfs1来判断对于每个lca它可以归哪个孩子管辖，再通过dfs2判断对于每个lca它是归儿子管辖近还是归父亲管辖好。

统计答案的时候，对于每条边u->v，令son为u->v上u的直系儿子，sz[i]为i这个点的原树中的大小，我们二分出一个中点mid，那么显然sz[son]-sz[mid]这一部分是归bel[u]，sz[mid]-sz[v]这一部分归bel[v]。但是这样呢对于每棵树，我们只考虑了它询问部分的子树，所以对于每个点i，我们令g[i]表示它没有考虑的节点个数，那么枚举每个虚树上的边u->v的时候，将g[u]减去sz[son]，意为把这部分的子树处理了。最后统计答案的时候再给ans[bel[i]加上 g[i]即可。

下附AC代码。

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#define maxn 300005
using namespace std;
int n,m,tot,top,cnt;
int st[maxn];
int a[maxn],b[maxn],c[maxn],ans[maxn],bel[maxn];
int head[maxn],nex[maxn<<1],to[maxn<<1],dfn[maxn],sz[maxn];
int dep[maxn],anc[maxn][19],dp[maxn];
void add(int x,int y)
{
	if(x==0 || y==0 || x==y) return;
	to[++tot]=y;nex[tot]=head[x];head[x]=tot;
}
int cmp(int i,int j)
{
	return dfn[i]<dfn[j];
}
void dfs(int now,int fa)
{
	for(int i=1;(1<<i)<=dep[now];i++)
		anc[now][i]=(anc[anc[now][i-1]][i-1]);
	sz[now]=1;
	dfn[now]=++tot;
	for(int i=head[now];i;i=nex[i])
	if(to[i]!=fa)
	{
		dep[to[i]]=dep[now]+1;
		anc[to[i]][0]=now;
		dfs(to[i],now);
		sz[now]+=sz[to[i]];
	}
}
int lca(int p,int q)
{
	if(dep[p]<dep[q]) swap(p,q);
	int d=dep[p]-dep[q];
	for(int i=0;i<=18;i++)
		if((1<<i)&d)
			p=anc[p][i];
	if(p==q) return p;
	for(int i=18;i>=0;i--)
		if(anc[p][i]!=anc[q][i])
			p=anc[p][i],q=anc[q][i];
	return anc[p][0];
}
int dis(int p,int q)
{
	return dep[p]+dep[q]-2*dep[lca(p,q)];
}
void dfs1(int now,int fa)
{
	dp[now]=sz[now]; c[++cnt]=now;
//	cerr<<"its "<<now<<endl;
	for(int i=head[now];i;i=nex[i])
	if(to[i]!=fa)
	{
		dfs1(to[i],now);
		if(!bel[to[i]]) continue;
		if(!bel[now]) 
		{
//			cerr<<"+1"<<endl;
			bel[now]=bel[to[i]];
			continue;
		}
		int dis1=dis(bel[now],now),dis2=dis(bel[to[i]],now);
		if(dis2<dis1 || (dis2==dis1 && bel[to[i]]<bel[now])) bel[now]=bel[to[i]];
	}

}
void dfs2(int now,int fa)
{
	for(int i=head[now];i;i=nex[i])
	if(to[i]!=fa)
	{
		if(!bel[to[i]]) 
		{
//			cerr<<"+1"<<endl;
			bel[to[i]]=bel[now];
			continue;
		}
		int dis1=dis(bel[to[i]],to[i]),dis2=dis(bel[now],to[i]);
		if(dis1>dis2 || (dis2==dis1 && bel[now]<bel[to[i]])) bel[to[i]]=bel[now];
		dfs2(to[i],now);
	}
}
void solve(int p,int q)
{
	int son=q,mid=q;
	for(int i=18;i>=0;i--)
		if((1<<i)+dep[p]<dep[son])
			son=anc[son][i];
	dp[p]-=sz[son];
//	cerr<<son<<" "<<mid<<endl;
	if(bel[p]==bel[q]) 
	{
		ans[bel[p]]+=(sz[son]-sz[q]);
		return;
	}
	for(int i=18;i>=0;i--)
	{
		if(dep[p]<dep[anc[mid][i]])
		{
			int nex=anc[mid][i];
			int dis1=dis(nex,bel[p]),dis2=dis(nex,bel[q]);
			if(dis1>dis2 || (dis2==dis1 && bel[p]>bel[q])) mid=nex;
		}
	}
	ans[bel[p]]+=(sz[son]-sz[mid]);
	ans[bel[q]]+=(sz[mid]-sz[q]);
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		int x,y;
		scanf("%d%d",&x,&y);
		add(x,y);
		add(y,x);
	}
	tot=0;
	dfs(1,0);
	for(int i=1;i<=n;i++) head[i]=0;
	int _;
	scanf("%d",&_);
//	for(int i=1;i<=n;i++)
//	{
//		cout<<"Its "<<dep[i]<<" "<<dfn[i]<<" "<<sz[i]<<" ";
//		for(int j=0;j<=3;j++)
//			cout<<anc[i][j]<<" ";
//		cout<<endl;
//	}
	while(_--)
	{
		tot=0;
		scanf("%d",&m);
		for(int i=1;i<=m;i++)
		scanf("%d",&a[i]),b[i]=a[i],bel[a[i]]=a[i];
		sort(a+1,a+1+m,cmp); 
		if(!bel[1]) st[++top]=1;
		int temp;
//		cout<<st[top]<<endl;
		for(int i=1;i<=m;i++)
		{
			if(!top)
			{
				st[++top]=a[i];
				continue;
			}
			temp=lca(a[i],st[top]);
//			cerr<<st[top]<<" "<<a[i]<<" "<<temp<<endl;
			while(1)
			{
				if(dep[st[top-1]]<=dep[temp])
				{
					add(temp,st[top]); 
					//cerr<<temp<<" "<<st[top]<<endl;
					top--;
					if(st[top]!=temp) st[++top]=temp;
					break;
				}
				add(st[top-1],st[top]);
				top--;
			}
			if(st[top]!=a[i]) st[++top]=a[i];
		}
		while(top>1) add(st[top-1],st[top]),top--;
//		cerr<<tot<<endl;
//		for(int i=1;i<=m;i++)
//			cerr<<bel[a[i]]<<endl;
		tot=0;
		dfs1(1,0);
//		for(int i=1;i<=m;i++)
//			cout<<bel[a[i]]<<endl;
		dfs2(1,0);
//		cerr<<cnt<<endl;
		for(int i=1;i<=cnt;i++)
		{
//			cerr<<bel[c[i]]<<endl;
			for(int j=head[c[i]];j;j=nex[j])
			{
//				cerr<<"+1"<<endl;
				solve(c[i],to[j]);
			}
		}
		for(int i=1;i<=cnt;i++)
			ans[bel[c[i]]]+=dp[c[i]];
		for(int i=1;i<=m;i++)
			printf("%d ",ans[b[i]]);
		printf("\n");
		for(int i=1;i<=cnt;i++)
			ans[c[i]]=dp[c[i]]=head[c[i]]=bel[c[i]]=0;
		top=cnt=tot=0;
	}
}