【题解】CF1109D：Sasha and Interesting Fact from Graph Theory

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黑题倒不至于，但是紫题至少了
首先输入的$a,b$不用管，因为是求方案数
然后开始愉快的推公式

设从$a->b$有$x$条边，那么不包括$a$$,b$，这条路上经过了$(x-1)$个点

• 从$(n-2)$个点中取出$(x-1)$个点并且顺序一变，又是一种方案，因此用排列，方案数为$P_{n-2}^{x-1}$
• $x$条边长总和为$m$，相当于把$m$分成$x$段，使用插板法，方案数为$C_{m-1}^{x-1}$
• 另外还有$(n-1-x)$条边取值随意，只要在$[1,m]$内就行，所以方案数为$m^{n-1-x}$
• 另外还有一堆点，如何排列？我犯难了，推不出来啊，于是我偷偷的去翻了一下题解 ，因为剩下的点要让他们组成一个森林，并将每棵树接到$a->b$这条路径上，把问题转化为把$n$个点分成$(x+1)$棵树的森林，并且$(x+1)$个点不属于任何一棵树
  引入$Cayley定理$：$n$ 个标号节点形成一个有 $k$ 颗树的森林,使得给定的 $k$ 个点没有两个点属于同一颗树的方案数为$k\ast n^{n-k-1}$，然后$k$用$(x+1)$代入，变成$(x+1)\ast n^{n-x-2}$

然后用乘法原理乘起来，$f(x)$表示路径中有$x$条边的方案数

$f(x)=P_{n-2}^{x-1}\ast C_{m-1}^{x-1}\ast m^{n-1-x}\ast (x+1)\ast n^{n-x-2}$

$=\frac{(n-2)!}{(n-x-1)!}\ast \frac{(m-1)!}{(m-x)!\ast (x-1)!}\ast m^{n-1-x}\ast (x+1)\ast n^{n-x-2}$

预处理：
$powern[i]=n^i,powerm[i]=m^i,fac[i]=i!,inv[i]=\frac{1}{i!}在模域的逆元$
枚举每个x，用加法原理把答案加起来即可

细节特判：

• $x=n-1$时，是一条链，无法用Cayley定理，方案数看成1
• 注意$C_{m-1}^{x-1}$中$(x-1)>(m-1)$情况，此时方案数为0

细节真麻烦
Code：

#include <bits/stdc++.h>
#define maxn 1000010
#define LL long long
#define qy 1000000007
using namespace std;
LL fac[maxn], inv[maxn], powern[maxn], powerm[maxn], n, m, no_use, ans;

inline LL read(){
	LL s = 0, w = 1;
	char c = getchar();
	for (; !isdigit(c); c = getchar()) if (c == '-') w = -1;
	for (; isdigit(c); c = getchar()) s = (s << 1) + (s << 3) + (c ^ 48);
	return s * w;
}

LL ksm(LL n, LL k){
	if (!k) return 1;
	LL sum = ksm(n, k >> 1);
	sum = sum * sum % qy;
	if (k & 1) sum = sum * n % qy;
	return sum;
}

int main(){
	n = read(), m = read(), no_use = read(), no_use = read();
	powern[0] = powerm[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) powern[i] = powern[i - 1] * n % qy, powerm[i] = powerm[i - 1] * m % qy;
	fac[0] = fac[1] = 1; LL N = max(n, m);
	for (int i = 2; i <= N; ++i) fac[i] = 1LL * fac[i - 1] * i % qy;
	inv[N] = ksm(fac[N], qy - 2);
	for (int i = N - 1; i >= 0; --i) inv[i] = 1LL * inv[i + 1] * (i + 1) % qy;
	for (int i = 1; i < n; ++i){
		LL P = fac[n - 2] * inv[n - i - 1] % qy, C = i > m ? 0 : fac[m - 1] * inv[m - i] % qy * inv[i - 1] % qy;
		LL sum = P * C % qy * powerm[n - 1 - i] % qy;
		ans = (ans + (i == (n - 1) ? sum : sum * (i + 1) % qy * powern[n - 2 - i] % qy)) % qy;
	}
	printf("%lld\n", ans);
	return 0;
}