CF1109D Sasha and Interesting Fact from Graph Theory（组合数学&扩展Cayley's formula公式）

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本文详细解析了CF1109D竞赛题目的解题思路，利用组合数学与扩展凯利公式解决树结构中特定路径权值之和的问题。介绍了Cayley公式的应用，以及如何通过枚举和全排列计算可能的树结构数量。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

CF1109D Sasha and Interesting Fact from Graph Theory（组合数学&扩展凯利公式）

题目大意

给出n个点，由这些点连成一棵树，树中每一条边的权重介于 $[1, m]$ 给出两点a，b问有多少种树满足a，b之间的路径的权值之和为m

解题思路

假设给定的ab之间假设存在条边，则这n条边为了满足条件则有 $C_{m-1}^{i-1}$ 种权重分配方式,除了两端的a,b共有选点方式有 $C_{n-2}^{i-1}$ 种分配方式，再对选出的点进行全排列则须再乘上 $A_{i-1}^{i-1}$ 满足ab之间的边之后剩余的所有的边的的权重任意 $m^{n-1-i}$ 接下来需要将剩下来的 $n - i - 1$ 个点接到这个ab路径上

为此需要引入Cayley公式.以下引自wiki：

设 $T_{n,k}$ 为n个有标号点分成k个连通块的的分割种数，其中节点1,2,3,…k属于不同的联通块
$T_{n,k}=k\ n^{n-k-1}$
由此枚举所有的 $i∈(1,m)i\in(1,m)$ 即可得出答案

AC代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int size=1e6+5;
const int mod=1e9+7;
int fac[size];
int invfac[size];
int quick_pow(int a,int b)
{
	a=a%mod;
	int ans=1;
	while(b)
	{
		if(b&1) ans=ans*a%mod;
		a=a*a%mod;
		b>>=1;
	}
	return ans;
}
void init()
{
	fac[0]=1;
	fac[1]=1;
	for(int i=2;i<size;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
	invfac[size-1]=quick_pow(fac[size-1],mod-2);
	for(int i=size-2;i>=0;i--)
	invfac[i]=invfac[i+1]*(i+1)%mod;
}
inline int C(int n,int m){return ((fac[n]*invfac[n-m]%mod)*invfac[m])%mod;}
inline int A(int n,int m){return fac[n]*invfac[n-m]%mod;}
int32_t main()
{
	int n,m;
	int a,b;
	cin>>n>>m>>a>>b;
	init();
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int vcnt=i+1,ecnt=i;
		if(vcnt>n) break;
		if(vcnt==n) ans=(ans+C(m-1,ecnt-1)*fac[vcnt-2]%mod)%mod;
		else ans=(ans+C(n-2,vcnt-2)*C(m-1,ecnt-1)%mod*fac[vcnt-2]%mod*quick_pow(m,n-1-ecnt)%mod*vcnt%mod*quick_pow(n,n-vcnt-1))%mod;
	}
	cout<<ans<<endl;
}