【题解】LuoGu3750：[六省联考2017]分手是祝愿

最新推荐文章于 2023-09-28 18:09:00 发布

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#题解 #LuoGu #期望 #DP

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博客是一道期望DP题解。先从n到1枚举求所需最小步数sum，若sum<=k，答案为sum；若sum>k则用DP。令dp[i]表示还需按i次到(i - 1)次的期望步数，得出转移方程，答案统计后最终结果要乘n! 。

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这是一道期望DP
首先根据题意，我们需要求出所需最小步数，这是可以求的
方法：从n到1枚举，如果灯开着，就关掉，顺便把因数都反转一下状态（xor），这是正确的，感性理解一下喽
设最小步数已经求出来了，记为 $s u m$

接下来就是根据题意讨论：

$s u m < = k ， a n s = s u m$
$s u m > k, 用到 D P$
令 $d p [i] 表示还需要按 i 次到需要按 (i - 1) 次的期望步数$
可得方程： $dp[i]=\frac{i}{n}*1+(1-\frac{i}{n})*(dp[i+1]+dp[i]+1)$
意义：有 $\frac{i}{n}$ 的概率按对，步数为1；有 $(1-\frac{i}{n})$ 的概率按错，导致变成还需按 $(i + 1)$ 次，步数为 $d p [i + 1] + d p [i] + 1$
化简得真·转移方程： $dp[i]=\frac{n+(n-i)*dp[i+1]}{i}，除以i则是用逆元解决$
答案统计则是如此： $ans=k+\sum_{i=k+1}^{sum}dp[i]$

最终不能忘了 $* n!$ 哟
Code：

#include <bits/stdc++.h>
#define maxn 100010
#define LL long long
#define qy 100003
using namespace std;
int n, k, a[maxn], inv[maxn], dp[maxn], sum, ans;
vector <int> s[maxn];

inline int read(){
    int s = 0, w = 1;
    char c = getchar();
    for (; !isdigit(c); c = getchar()) if (c == '-') w = -1;
    for (; isdigit(c); c = getchar()) s = (s << 1) + (s << 3) + (c ^ 48);
    return s * w;
}

int ksm(int n, int k){
    if (!k) return 1;
    int sum = ksm(n, k >> 1);
    sum = 1LL * sum * sum % qy;
    if (k & 1) sum = 1LL * sum * n % qy;
    return sum;
}

int main(){
    n = read(), k = read();
    for (int i = 1; i <= n; ++i) a[i] = read();
    for (int i = 1; i <= n; ++i) inv[i] = ksm(i, qy - 2);
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        for (int j = i; j <= n; j += i) s[j].push_back(i);
    for (int i = n; i; --i)
        if (a[i]){
            ++sum;
            for (int j = 0; j < s[i].size(); ++j) a[s[i][j]] ^= 1;
        }
    if (sum <= k) ans = sum % qy; else{
        dp[n] = 1;
        for (int i = n - 1; i > k; --i)
            dp[i] = 1LL * inv[i] * (n + 1LL * (n - i) * dp[i + 1] % qy) % qy;
        for (int i = sum; i > k; --i) (ans += dp[i]) %= qy;
        (ans += k) %= qy;
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i) ans = 1LL * ans * i % qy;
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}

终于肝完了，睡觉去了~~