洛谷P3750 分手是祝愿题解

glorious_dream

于 2022-09-27 21:35:58 发布

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分类专栏：题解文章标签：算法

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博客介绍了利用期望DP解决一道算法问题，通过分析开关操作与灯的状态变化，得出从大到小扫描并更新状态的策略。博主通过转移方程解析了操作次数的期望，并提供了计算最终答案的方法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

在这里插入图片描述

一道很经典的期望 $($ 至少我感觉这个名字会流芳百世 $)$ 。这道题我感觉是很神仙的期望 $d p$ 。

首先看如果操作第 $i$ 个开关时，所有编号为 $i$ 的约数 $($ 包括 $1$ 和 $i$ $)$ 的灯的状态都会改变，那么也就是说，每个点按多次，实际上就是 $2$ 种操作，按或者不按，而且每个按键都不可能被其它按键的组合键代替 $($ 感性理解一下，如果可能的话，势必会影响到其它的点 $)$ 。所以我们可以先从大到小扫一遍，碰到亮的就点，同时把是它的因数的点状态异或 $1$ ，这样找到必须要按的键。实际上相当于除了这些键，按其它的键，就必须要按一个相同的键给按回来。

于是在处理完必须要按的键之后，我们可以进行期望 $d p$ 。设 $f [i]$ 表示从 $i$ 个需要按的键到 $i - 1$ 个需要按的键的期望操作次数。那么转移方程为 $\frac{i}{n} + \frac{n-i}{n} \times (f[i] +f[i+1] + 1)$

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