【题解】LuoGu4562：[JXOI2018]游戏

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不是特别的难
最最最开始，令$n=r-l+1$

20%$n<=8$

我会暴力！
直接$O(n!\ast n)$

10%$l=1$

我会特判！
时间就是1的位置
所以答案是$\frac{(n-1)!\ast n(n+1)}{2}$

100%

我会推公式！
首先$l=1$的情况直接特判掉
可以知道有那么一些数，不是任何$l$~$r$的数的倍数（除了自身）
如果把这些数选了，可以且仅可以完成任务
记这些数的个数为$sum$
sum可以用一个类似筛法的方法预处理出来

令$f_i表示需时间为i的方案数$
$f_i=P_{n-sum}^{n-i}\ast (i-1)!\ast sum=\frac{(n-sum)!\ast (i-1)!\ast sum}{(i-sum)!}$
意义：$P_{n-sum}^{n-i}$表示，因为那$sum$个必选的数都要放前面，所以$(n-sum)$个数可供选择放后面$(n-i)$个位置，用排列$P$
$(i-1)!\ast sum$表示，选定当前第i位，因为这个时候完成任务，所以这个位置一定是sum个数之一，所以有sum种选择，前面$(i-1)$个位置随便排，$(i-1)!$种方案

最终的答案为$ans={\sum }_{i=sum}^{n}i\ast f_i={\sum }_{i=sum}^n\frac{(n-sum)!\ast i!\ast sum}{(i-sum)!}=sum\ast {\sum }_{i=sum}^n\frac{(n-sum)!\ast i!}{(i-sum)!}$
公式就这么出来啦

注意点：提高速度，令$power[i]=i!,inv[i]=\frac{1}{i!}在10^9+7在的逆元$

Code：

#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define qy 1000000007
#define maxn 10000010
using namespace std;
LL power[maxn], inv[maxn];
bool vis[maxn];

LL ksm(LL n, int k){
    if (!k) return 1;
    LL sum = ksm(n, k >> 1);
    sum = sum * sum % qy;
    if (k & 1) sum = sum * n % qy;
    return sum;
}

int main(){
    power[0] = 1;
    LL l, r;
    scanf("%lld%lld", &l, &r);
    int n = r - l + 1;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) power[i] = power[i - 1] * i % qy;
    inv[n] = ksm(power[n], qy - 2);
    for (int i = n; i; --i) inv[i - 1] = inv[i] * i % qy;
    if (l == 1) printf("%lld\n", power[n] * (n + 1) % qy * ksm(2, qy - 2) % qy); else{
        LL ans = 0, sum = 0;
        for (int i = l; i <= r; ++i)
            if (!vis[i]){
                ++sum;
                for (int j = i << 1; j <= r; j += i) vis[j] = 1;
            }
        for (int i = sum; i <= n; ++i) ans = (ans + power[n - sum] * power[i] % qy * inv[i - sum] % qy) % qy;
        printf("%lld\n", sum * ans % qy);
    }
    return 0;
}