[题解]LuoGu3644：[APIO2015]八邻旁之桥

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LuoGu

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本文深入解析了APIO竞赛中的一道题目，详细介绍了当k等于1和2时，如何通过计算家中和办公室间最短路径来优化过河策略。利用中位数、动态线段树等算法解决家和办公室位于河两岸的问题。

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APIO的题目不难啊

首先，家和办公室在河同侧的直接走吧
需要过河的拿出来算

k=1情况

一座桥的话，桥肯定要建在中间（没毛病）
然后家的位置和办公室的位置的话，因为在两岸，可以令起点的位置是较小的那个，便于计算
然后设桥的位置为a，家和桥的位置都为 $x_i$ ，距离和就是 $abs(x_i-a)$
a取 $x_i$ 的中位数就行啦

k=2情况

枚举“断点”
断点左边的走左边的桥，断点右边的走右边的桥

得先想一下那些路径是走左边桥的
发现一条路径走的桥跟 $(x + y) / 2$ 有关，所以按照这个先排个序
分别求两边的中位数，以及那个 $sigma（abs(x_i-a)）$

求中位数需要动态，这里权值线段树、对顶set、Splay皆可
不过我用了懒人fhq

Code：

#include <bits/stdc++.h>
#define maxn 1000010
#define LL long long
using namespace std;
int k, n, tot;
LL sum1, sum2, sum[maxn], ans[maxn];
int rt, sz, val[maxn], size[maxn], key[maxn], son[maxn][2];
struct node{
	int x, y, z;
}a[maxn];

inline int read(){
	int s = 0, w = 1;
	char c = getchar();
	for (; !isdigit(c); c = getchar()) if (c == '-') w = -1;
	for (; isdigit(c); c = getchar()) s = (s << 1) + (s << 3) + (c ^ 48);
	return s * w;
}

bool cmp(node x, node y){ return x.z < y.z; }

int addnode(int x){
	++sz;
	val[sz] = sum[sz] = x, key[sz] = rand() * rand(), size[sz] = 1;
	return sz;
}

void pushup(int x){
	if (x){
		size[x] = 1, sum[x] = val[x];
		if (son[x][0]) size[x] += size[son[x][0]], sum[x] += sum[son[x][0]];
		if (son[x][1]) size[x] += size[son[x][1]], sum[x] += sum[son[x][1]];
	}
}

void split(int now, int w, int &u, int &v){
	if (!now) u = v = 0; else{
		if (val[now] <= w) u = now, split(son[now][1], w, son[u][1], v); else
		v = now, split(son[now][0], w, u, son[v][0]);
		pushup(now);
	}
}

int merge(int u, int v){
	if (!u || !v) return u + v;
	if (key[u] >= key[v]){
		son[u][1] = merge(son[u][1], v);
		pushup(u);
		return u;
	} else{
		son[v][0] = merge(u, son[v][0]);
		pushup(v);
		return v;
	}
}

int kth(int now, int k){
	while (1){
		if (size[son[now][0]] >= k) now = son[now][0]; else
		if (size[son[now][0]] + 1 >= k) return now; else
		k -= size[son[now][0]] + 1, now = son[now][1];
	}
}

void insert(int w){
	int x, y;
	split(rt, w, x, y);
	rt = merge(merge(x, addnode(w)), y);
}

LL calc(){
	LL w = val[kth(rt, size[rt] >> 1)];
	int x, y;
	split(rt, w, x, y);
	LL Sum = w * size[x] - sum[x] + sum[y] - w * size[y];
	rt = merge(x, y);
	return Sum;
}

int main(){
	srand(time(0));
	k = read(), n = read();
	for (int i = 1; i <= n; ++i){
		char c1 = getchar();
		for (; c1 != 'A' && c1 != 'B'; c1 = getchar());
		int x = read();
		char c2 = getchar();
		for (; c2 != 'A' && c2 != 'B'; c2 = getchar());
		int y = read();
		if (x > y) swap(x, y);
		if (c1 == c2) sum1 += y - x; else
		a[++tot] = ((node) {x, y, x + y});
	}
	sort(a + 1, a + 1 + tot, cmp);
	for (int i = 1; i <= tot; ++i){
		insert(a[i].x); insert(a[i].y);
		ans[i] = calc();
	}
	if (k == 1) printf("%lld\n", sum1 + tot + ans[tot]); else{
		sum2 = ans[tot];
		for (int i = 1; i <= sz; ++i) son[i][0] = son[i][1] = 0;
		rt = sz = 0;
		for (int i = tot; i; --i){
			insert(a[i].x); insert(a[i].y);
			sum2 = min(sum2, ans[i - 1] + calc());
		}
		printf("%lld\n", sum1 + tot + sum2);
	}
	return 0;
}