Task03：过拟合、欠拟合及其解决方案；梯度消失、梯度爆炸；循环神经网络进阶

从严格意义上讲，测试集只能在所有超参数和模型参数选定后使用一次。不可以使用测试数据选择模型，如调参。由于无法从训练误差估计泛化误差，因此也不应只依赖训练数据选择模型。鉴于此，我们可以预留一部分在训练数据集和测试数据集以外的数据来进行模型选择。这部分数据被称为验证数据集，简称验证集（validation set）。例如，我们可以从给定的训练集中随机选取一小部分作为验证集，而将剩余部分作为真正的训练集。

K折交叉验证

由于验证数据集不参与模型训练，当训练数据不够用时，预留大量的验证数据显得太奢侈。一种改善的方法是K折交叉验证（K-fold cross-validation）。在K折交叉验证中，我们把原始训练数据集分割成K个不重合的子数据集，然后我们做K次模型训练和验证。每一次，我们使用一个子数据集验证模型，并使用其他K-1个子数据集来训练模型。在这K次训练和验证中，每次用来验证模型的子数据集都不同。最后，我们对这K次训练误差和验证误差分别求平均。

1.3 过拟合和欠拟合

模型训练中经常出现的两类典型问题：

一类是模型无法得到较低的训练误差，我们将这一现象称作欠拟合（underfitting）；
另一类是模型的训练误差远小于它在测试数据集上的误差，我们称该现象为过拟合（overfitting）。在实践中，我们要尽可能同时应对欠拟合和过拟合。虽然有很多因素可能导致这两种拟合问题，在这里我们重点讨论两个因素：模型复杂度和训练数据集大小。

模型复杂度

为了解释模型复杂度，我们以多项式函数拟合为例。给定一个由标量数据特征x和对应的标量标签y组成的训练数据集，多项式函数拟合的目标是找一个K阶多项式函数：

来近似 y。在上式中，wk是模型的权重参数，b是偏差参数。与线性回归相同，多项式函数拟合也使用平方损失函数。特别地，一阶多项式函数拟合又叫线性函数拟合。

给定训练数据集，模型复杂度和误差之间的关系：

训练数据集的大小

影响欠拟合和过拟合的另一个重要因素是训练数据集的大小。一般来说，如果训练数据集中样本数过少，特别是比模型参数数量（按元素计）更少时，过拟合更容易发生。此外，泛化误差不会随训练数据集里样本数量增加而增大。因此，在计算资源允许的范围之内，我们通常希望训练数据集大一些，特别是在模型复杂度较高时，例如层数较多的深度学习模型。

1.4 权重衰减

权重衰减等价于 L2范数正则化（regularization）。正则化通过为模型损失函数添加惩罚项使学出的模型参数值较小，是应对过拟合的常用手段。

L2 范数正则化（regularization）：

L2范数正则化在模型原损失函数基础上添加L2范数惩罚项，从而得到训练所需要最小化的函数。L2范数惩罚项指的是模型权重参数每个元素的平方和与一个正的常数的乘积。以线性回归中的线性回归损失函数为例

其中w1,w2是权重参数，b是偏差参数，样本i的输入为x1(i),x2(i)，标签为y(i)，样本数为n。将权重参数用向量w=[w1,w2]表示，带有L2范数惩罚项的新损失函数为：

其中超参数λ>0。当权重参数均为0时，惩罚项最小。当λ较大时，惩罚项在损失函数中的比重较大，这通常会使学到的权重参数的元素较接近0。当λλ设为0时，惩罚项完全不起作用。上式中L2范数平方|w|2展开后得到w12+w22。有了L2范数惩罚项后，在小批量随机梯度下降中，我们将线性回归一节中权重w1和w2的迭代方式更改为：

可见，L2范数正则化令权重w1和w2先自乘小于1的数，再减去不含惩罚项的梯度。因此，L2范数正则化又叫权重衰减。权重衰减通过惩罚绝对值较大的模型参数为需要学习的模型增加了限制，这可能对过拟合有效。

pytorch简洁实现：

# wd为正则化的超参数
def fit_and_plot_pytorch(wd):
    # 对权重参数衰减。权重名称一般是以weight结尾
    net = nn.Linear(num_inputs, 1)
    #初始化参数
    nn.init.normal_(net.weight, mean=0, std=1)
    nn.init.normal_(net.bias, mean=0, std=1)
    #使用随机梯度下降
    optimizer_w = torch.optim.SGD(params=[net.weight], lr=lr, weight_decay=wd) # 对权重参数衰减
    optimizer_b = torch.optim.SGD(params=[net.bias], lr=lr)  # 不对偏差参数衰减
    
    train_ls, test_ls = [], []
    for _ in range(num_epochs):
        for X, y in train_iter:
            l = loss(net(X), y).mean()
            optimizer_w.zero_grad()
            optimizer_b.zero_grad()
            
            l.backward()
            
            # 对两个optimizer实例分别调用step函数，从而分别更新权重和偏差
            optimizer_w.step()
            optimizer_b.step()
        train_ls.append(loss(net(train_features), train_labels).mean().item())
        test_ls.append(loss(net(test_features), test_labels).mean().item())
    d2l.semilogy(range(1, num_epochs + 1), train_ls, 'epochs', 'loss',
                 range(1, num_epochs + 1), test_ls, ['train', 'test'])
    print('L2 norm of w:', net.weight.data.norm().item())

不进行权重衰减：出现过拟合的现象