2024 五一杯高校数学建模邀请赛（A题）|钢板最优切割路径问题|建模秘籍&文章代码思路大全

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问题1：给定如图2所示的下料切割布局N1，其中B3-B4为钢板边界线，不用切割，B1为切割起始点。请建立数学模型，设计最优切割路径方案，并给出最优切割路径的空程总长度。

设钢板的长为$L$，宽为$W$，切割起始点为$(x_1,y_1)=(0,0)$，切割终点为$(x_2,y_2)=(L,W)$，切割路径为$P=\{(x_i,y_i){\}}_{i=1}^n$，其中$n$为切割次数。

空程总长度$S$为所有空程的长度之和，即
$$S=\sum _{i=1}^{n-1}\sqrt{(x_{i+1}-x_i{)}^2+(y_{i+1}-y_i{)}^2}$$

为了使空程总长度最小，需要优化切割路径$P$。根据题意，切割线必须从切割起始点出发，且每次切割必须沿着钢板的边界线进行，因此切割路径$P$可以表示为：
$$P=\{(x_i,y_i){\}}_{i=1}^n=\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_n,y_n)\}$$
其中，$x_i$和$y_i$满足以下条件：
xi∈{ 0,L},yi∈{ 0,W},i=1,2,...,nx_i\in\{0,L\},\quad y_i\in\{0,W\},\quad i=1,2,...,nxi​∈{ 0,L},yi​∈{ 0,W},i=1,2,...,n

同时，为了保证切割线不重叠，需要满足以下条件：
$$x_i\ne x_j,y_i\ne y_j,i\ne j$$

综上，问题1可以建立如下数学模型：
$$\underset{P}{\min }\sum _{i=1}^{n-1}\sqrt{(x_{i+1}-x_i{)}^2+(y_{i+1}-y_i{)}^2}$$
s.t.xi∈{ 0,L},yi∈{ 0,W},i=1,2,...,ns.t.\quad x_i\in\{0,L\},\quad y_i\in\{0,W\},\quad i=1,2,...,ns.t.xi​∈{ 0,L},yi​∈{ 0,W},i=1,2,...,n
$$x_i\ne x_j,y_i\ne y_j,i\ne j$$

其中，$P$为切割路径，$n$为切割次数，$x_i$和$y_i$为第$i$次切割的坐标。最优切割路径方案即为使得空程总长度最小的切割路径$P$。

首先，我们可以将钢板切割路径问题抽象为一个图论问题。将钢板布局图中的每个切割点视为图中的一个节点，切割线视为节点之间的边。则钢板切割路径问题可以转化为在这个图中寻找一条最优路径，使得空程最短。

根据题目要求，切割起始点为B1，因此我们可以将B1作为图中的起点。同时，B3-B4为钢板边界线，不用切割，可以将其视为图中的终点。

接下来，我们需要确定图中的权重。根据题目要求，空程是指在切割过程中不产生切割效果的水平运动路径，因此我们可以将每条边的权重设为其对应的空程长度。

最优切割路径的空程总长度即为从起点到终点的最短路径长度。因此，我们可以使用Dijkstra算法来求解最优切割路径。该算法可以在O(nlogn)的时间复杂度内求解最短路径。

综上所述，我们可以建立如下数学模型：

1. 将钢板布局图抽象为一个图G=(V,E)，其中V为节点集合，E为边集合。
2. 将切割起始点B1作为图中的起点，将钢板边界线B3-B4作为图中的终点。
3. 将每条边的权重设为其对应的空程长度。
4. 使用Dijkstra算法求解最短路径，得到最优切割路径的空程总长度。

在具体实现时，可以使用邻接矩阵来表示图G，并使用优先队列来实现Dijkstra算法，从而提高算法的效率。

最后，我们可以通过调整切割起始点的位置，来进一步优化切割路径，使得空程总长度更短。因此，钢板切割路径问题可以进一步拓展为一个优化问题，可以使用遗传算法等方法来求解最优解。

设钢板的长为$L$，宽为$W$，切割起始点为$(0,0)$，切割终点为$(L,W)$，切割线的集合为$S$，则最优切割路径方案可以表示为：

$$\underset{S}{\min }\sum _{i=1}^n{l}_i$$

其中，$n$为切割线的数量，$l_i$为第$i$条切割线的长度。为了满足空程最短的原则，我们需要考虑切割线的方向和顺序。假设第$i$条切割线的起点为$(x_i,y_i)$，终点为$(x_{i+1},y_{i+1})$，则第$i$条切割线的长度可以表示为：

$$l_i=\sqrt{(x_{i+1}-x_i{)}^2+(y_{i+1}-y_i{)}^2}$$

为了使空程最短，我们需要使得切割线的方向尽可能平行于钢板的边界线。因此，我们可以将切割线的方向限制在以下四种情况中的一种：

1. 水平向右：$x_{i+1}=x_i+l_i,y_{i+1}=y_i$
2. 水平向左：$x_{i+1}=x_i-l_i,y_{i+1}=y_i$
3. 垂直向上：$x_{i+1}=x_i,y_{i+1}=y_i+l_i$
4. 垂直向下：$x_{i+1}=x_i,y_{i+1}=y_i-l_i$

同时，我们还需要考虑切割线的顺序，即每条切割线的起点必须与上一条切割线的终点相同。因此，我们可以将切割线的顺序限制在以下两种情况中的一种：

1. 顺序：$x_{i+1}\ge x_i,y_{i+1}\ge y_i$
2. 逆序：$x_{i+1}\le x_i,y_{i+1}\le y_i$

综上所述，我们可以得到最优切割路径方案的数学模型为：

$$\underset{S}{\min }\sum _{i=1}^n\sqrt{(x_{i+1}-x_i{)}^2+(y_{i+1}-y_i{)}^2}$$

$$s.t.\{\begin{array}{l}{x}_1=0,y_1=0\\ x_n=L,y_n=W\\ x_{i+1}\ge x_i,y_{i+1}\ge y_i,i=1,2,...,n-1\\ \text{或}\\ x_{i+1}\le x_i,y_{i+1}\le y_i,i=1,2,...,n-1\end{array}$$

其中，$x_i$