完数

Write a program to output the first 555 perfect numbers. A perfect number is defined to be a positive integer where the sum of its positive integer divisors excluding the number itself equals the number.

For example: 1+2+3=61+ 2 + 3 = 61+2+3=6, and 666 is the first perfect number.

There is no input for this problem.

求前五个完数;

其实前4个都很好求,但是第五个很容易超时;

欧拉曾发现如此一个性质:若p是素数,且pow(2,p)-1也是素数,那么(pow(2,p)-1)*pow(2,p-1)就是一个完数。如果pow(2,p)-1是素数,称它为梅森素数,而梅森素数至今只发现了50个,所以完数的个数也不会大于50。

解题思路已经很清晰了,先做一次素数筛,再把满足p是素数,且pow(2,p)-1也是素数的所有p筛出来,但是这个素数筛并不需要筛到1e12。我们让pow(2,p)-1最大到1e7即可,那么这个式子(pow(2,p)-1)*pow(2,p-1)一定就不会比1e12小。

pow(2,p)-1最大到1e7,那么p不会比24大,所以先做一次1e7的素数筛,然后最多再24次就能把所有在1e12以内的完数找出来,每次询问的时候在表内查询即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e7+5;
int  vis[maxn+1];//0就代表i是素数或者1
void sieve(int n)
{
    int m=(int)sqrt(n+0.5);
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    for(int i=2; i<=m; i++) if(!vis[i])
            for(int j=i*i; j<=n; j+=i) vis[j]=1; 
}
vector<ll> ans;
int main()
{
    sieve(maxn);
    ans.clear();
    for(int i=2; i<=24; i++)
    {
        int tem=(1<<i)-1;
        if(tem>maxn)break;
        if(!vis[i]&&!vis[tem])
        {
            ll tt=(ll)tem*(ll)(1<<(i-1));
            ans.push_back(tt);
        }
    }
    ll n;
    int flag=0;
    for(n=2;n<2147483647;n++){
        bool ok=false;
        for(int i=0; i<ans.size(); i++)
            if(ans[i]==n)
            {
                ok=true;
                break;
            }		

        if(ok){
        	cout<<n<<endl;
        	++flag;
		}
		if(flag==5)
			break;
    }
    return 0;
}
<think>嗯,用户想找关于完数的打印程序或者算法,需要用编程语言来实现。首先,我得回忆一下完数的定义。完数,也就是完美数,是指一个数恰好等于它的真因子之和,比如6的真因子是1、2、3,而1+2+3=6,所以6是完数。还有28也是,对吧? 用户可能希望得到不同编程语言的实现方法,比如Python或者C++,因为引用的资料里有这两种代码的例子。先看引用里的内容,引用[1]是Python代码,遍历2到1000的数,每个数检查它的因子,然后求和判断是否等于自身。引用[2]是C++代码,输入一个数判断是否是完数,返回yes或no。 用户的问题是关于打印完数的程序或算法,所以可能需要先解释完数的概念,再给出具体的实现步骤。比如如何找出所有真因子,如何求和,然后比较。然后展示代码示例,可能包括Python和C++两种,这样用户可以根据需要选择。 另外,用户可能对算法的效率感兴趣。比如,当要找较大的完数时,可能需要优化循环的范围。例如,在找因子时,只需要检查到sqrt(n)吗?不过因为完数的性质,实际上已知的完数都是偶数,而且符合梅森素数的形式,可能不需要遍历到n-1。不过对于小范围的数,比如1000以内,直接遍历所有可能的因子也是可行的。 还需要考虑代码的正确性,比如在Python代码中,s=[]的位置是否正确?比如每个a循环开始时清空列表,是的,没错。然后收集所有i从1到a-1的因子,求和。这部分逻辑是正确的。C++的代码则是针对单个输入判断,返回是否是完数,可能用户如果需要打印一定范围内的完数,需要修改这个代码,比如循环输入n的值,或者直接遍历。 然后可能需要指出完数的已知例子,比如6、28、496、8128等,这些在10000以内的完数。所以在代码中,如果范围扩大到10000,可能能找到更多的完数。但要注意,完数其实很少,而且随着数值增大,计算量也会增加,可能需要更高效的算法,比如利用欧几里得-欧拉定理,通过梅森素数来生成完数。但这对一般编程来说可能比较复杂,用户可能只需要基础的方法。 此外,用户可能想知道如何优化算法,比如在寻找因子时,可以成对添加因子,减少循环次数。比如当i是a的因子时,a/i也是因子,这样可以减少循环到sqrt(a)的次数。不过要注意避免重复添加,比如当i等于a/i时,只添加一次。这可能对大的a值更有效,但如果是小范围的话,可能优化效果不明显。 然后,在给出代码示例时,需要确保语法正确。比如Python中的列表推导式是否正确,循环的范围是否正确。C++中的循环条件是否正确,比如i<n是否正确,是的,因为真因子不包括自身。 可能用户还会想知道完数的应用场景,虽然完数在数学上很有趣,但在实际应用中的例子可能较少,更多是用于算法练习或数学教育。 最后,根据用户的要求,生成相关问题,可能包括完数的定义、优化方法、应用场景,或者如何扩展到其他语言实现等。</think>### 完数打印算法详解 完数(完美数)是指一个正整数等于其真因子(除自身外的所有因子)之和。例如:$6=1+2+3$,$28=1+2+4+7+14$。以下是两种编程实现方法: --- #### **Python实现** ```python def print_perfect_numbers(max_range): for num in range(2, max_range + 1): divisors = [] for i in range(1, num): if num % i == 0: divisors.append(i) if sum(divisors) == num: print(num) print_perfect_numbers(10000) # 输出10000以内所有完数 ``` **代码说明**: 1. 遍历2到`max_range`的整数 2. 对每个数计算其真因子并存入列表 3. 通过`sum(divisors) == num`判断是否为完数 4. 时间复杂度为$O(n^2)$,适用于小范围搜索[^1] --- #### **C++实现** ```cpp #include <iostream> #include <vector> using namespace std; void printPerfectNumbers(int maxRange) { for (int num = 2; num <= maxRange; num++) { vector<int> divisors; for (int i = 1; i < num; i++) { if (num % i == 0) { divisors.push_back(i); } } int sum = 0; for (int d : divisors) sum += d; if (sum == num) { cout << num << endl; } } } int main() { printPerfectNumbers(10000); return 0; } ``` --- ### 算法优化方向 1. **因子成对收集**:遍历到$\sqrt{n}$时,同时添加$i$和$n/i$(需处理平方数情况) 2. **数学性质利用**:所有偶完数均可表示为$2^{p-1}(2^p -1)$,其中$2^p -1$是梅森素数[^1] 3. **预计算梅森素数**:已知完数与梅森素数一一对应,可先计算梅森素数再生成完数 --- 相关问题
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