HDU 5749 Colmerauer(单调栈+推公式)

最新推荐文章于 2024-06-30 10:57:50 发布

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本文介绍了一道算法题目，需要求解一个n*m矩阵中所有鞍点的值的和，并通过两种不同的方法实现了该算法。第一种方法利用了容斥原理进行计算，第二种方法则是直接计算每个鞍点的贡献。

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5749
题意：给你一个n*m的矩形然后求 $W = (\displaystyle\sum_{a=1}^{n}\sum_{b=1}^{m}{a \cdot b \cdot S(a,b)}) \text{ mod } 2^{32}$ ,S(a,b)表示所有大小是a*b的子矩阵的鞍点的值的和。
题解：鞍点是在行里唯一最小，列里唯一最大，所以先单调栈一下，有点麻烦，细心点写就行，然后就是求这个点的贡献，等于就是这个点在一个矩形里，求这个矩形里，其他所有包含这个点的子矩形的面积和。
有两种方法，第一种是容斥，就是算在长a宽b的矩形里，所有子矩形的面积，然后减去边上不包含这个点的四块里的所有子矩形的面积，最后加上4个角上的。
长a宽b的矩形里所有子矩形的面积是
长为1的所有矩形面积：

a \times 1 \times (b \times 1 + (b - 1) \times 2 + \dots + 1 \times b)

$a\times 1\times (b\times 1+(b-1)\times 2+\dots +1\times b)$
后面括号里的求和是

\sum i = 1 b (b + 1 - i) \times i

$\sum_{i=1}^b {(b+1-i)\times i}$
展开得到

\sum i = 1 b (b + 1) i - i \times i

$\sum_{i=1}^b{(b+1)i-i\times i}$
求和就是

b ( b + 1 ) ( b + 2 ) 6

$\frac{b(b+1)(b+2)}{6}$
所以长a宽b的矩形里面所有子矩形的面积就是

a b ( a + 1 ) ( b + 1 ) ( a + 2 ) ( b + 2 ) 36

$\frac{ab(a+1)(b+1)(a+2)(b+2)}{36}$

这是第一种容斥的方法。
第二种直接算的方法就是假设这个点在矩形里，距离上左下右的距离分别是a,b,c,d，公式就是

\sum i = 0 a \sum j = 0 b \sum k = 0 c \sum h = 0 d (i + k + 1) * (j + h + 1)

$\sum_{i=0}^a\sum_{j=0}^b\sum_{k=0}^c\sum_{h=0}^d (i+k+1)*(j+h+1)$
然后直接推导就得

( a + 1 ) ( c + 1 ) ( a + c + 2 ) 2 * ( b + 1 ) ( d + 1 ) ( b + d + 2 ) 2

$\frac{(a+1)(c+1)(a+c+2)}{2}*\frac{(b+1)(d+1)(b+d+2)}{2}$

方法1：

#include <map>
#include <set>
#include <stack>
#include <queue>
#include <cmath>
#include <string>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <sstream>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#pragma comment(linker,"/STACK:102400000,102400000")

using namespace std;
#define   MAX           1005
#define   MAXN          1000005
#define   maxnode       15
#define   sigma_size    30
#define   lson          l,m,rt<<1
#define   rson          m+1,r,rt<<1|1
#define   lrt           rt<<1
#define   rrt           rt<<1|1
#define   middle        int m=(r+l)>>1
#define   LL            long long
#define   ull           unsigned long long
#define   mem(x,v)      memset(x,v,sizeof(x))
#define   lowbit(x)     (x&-x)
#define   pii           pair<int,int>
#define   bits(a)       __builtin_popcount(a)
#define   mk            make_pair
#define   limit         10000

//const int    prime = 999983;
const int    INF   = 0x3f3f3f3f;
const LL     INFF  = 0x3f3f;
const double pi    = acos(-1.0);
const double inf   = 1e18;
const double eps   = 1e-4;
const LL    mod    = 1e9+7;
const ull    mx    = 133333331;

/*****************************************************/
inline void RI(int &x) {
      char c;
      while((c=getchar())<'0' || c>'9');
      x=c-'0';
      while((c=getchar())>='0' && c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0';
 }
/*****************************************************/

int a[MAX][MAX];
int st[MAX];
int l[MAX][MAX],r[MAX][MAX],up[MAX][MAX],down[MAX][MAX];

unsigned rong(unsigned a,unsigned b){
    return (b*(b+1)*(b+2)/6)*(a*(a+1)*(a+2)/6);
}
int main(){
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    int t;
    cin>>t;
    while(t--){
        int n,m;
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=m;j++){
                scanf("%d",&a[i][j]);
                l[i][j]=1;
                r[i][j]=m;
                up[i][j]=1;
                down[i][j]=n;
            }
        }
        for(int i=1;i<=n;i++){
            int top=0;
            st[++top]=0;
            for(int j=1;j<=m;j++){
                while(top>1&&a[i][st[top]]>a[i][j]){
                    r[i][st[top]]=min(j-1,r[i][st[top]]);
                    top--;
                }
                if(top>1&&a[i][st[top]]==a[i][j]) l[i][j]=max(l[i][j],st[top]+1);
                while(top>1&&a[i][st[top]]==a[i][j]){
                    r[i][st[top]]=min(j-1,r[i][st[top]]);
                    top--;
                }
                l[i][j]=max(l[i][j],st[top]+1);
                st[++top]=j;
            }
        }
        for(int j=1;j<=m;j++){
            int top=0;
            st[++top]=0;
            for(int i=1;i<=n;i++){
                while(top>1&&a[st[top]][j]<a[i][j]){
                    down[st[top]][j]=min(down[st[top]][j],i-1);
                    top--;
                }
                if(top>1&&a[st[top]][j]==a[i][j]) up[i][j]=max(up[i][j],st[top]+1);
                while(top>1&&a[st[top]][j]==a[i][j]){
                    down[st[top]][j]=min(down[st[top]][j],i-1);
                    top--;
                }
                up[i][j]=max(up[i][j],st[top]+1);
                st[++top]=i;
            }
        }
        unsigned ans=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=m;j++){
                unsigned ret=rong(r[i][j]-l[i][j]+1,down[i][j]-up[i][j]+1);
                ret-=rong(r[i][j]-j,down[i][j]-up[i][j]+1);
                ret-=rong(j-l[i][j],down[i][j]-up[i][j]+1);
                ret-=rong(r[i][j]-l[i][j]+1,i-up[i][j]);
                ret-=rong(r[i][j]-l[i][j]+1,down[i][j]-i);
                ret+=rong(r[i][j]-j,i-up[i][j]);
                ret+=rong(r[i][j]-j,down[i][j]-i);
                ret+=rong(j-l[i][j],i-up[i][j]);
                ret+=rong(j-l[i][j],down[i][j]-i);
                unsigned tmp=a[i][j];
                ans+=ret*tmp;
            }
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}

方法2：

#include <map>
#include <set>
#include <stack>
#include <queue>
#include <cmath>
#include <string>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <sstream>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#pragma comment(linker,"/STACK:102400000,102400000")

using namespace std;
#define   MAX           1005
#define   MAXN          1000005
#define   maxnode       15
#define   sigma_size    30
#define   lson          l,m,rt<<1
#define   rson          m+1,r,rt<<1|1
#define   lrt           rt<<1
#define   rrt           rt<<1|1
#define   middle        int m=(r+l)>>1
#define   LL            long long
#define   ull           unsigned long long
#define   mem(x,v)      memset(x,v,sizeof(x))
#define   lowbit(x)     (x&-x)
#define   pii           pair<int,int>
#define   bits(a)       __builtin_popcount(a)
#define   mk            make_pair
#define   limit         10000

//const int    prime = 999983;
const int    INF   = 0x3f3f3f3f;
const LL     INFF  = 0x3f3f;
const double pi    = acos(-1.0);
const double inf   = 1e18;
const double eps   = 1e-4;
const LL    mod    = 1e9+7;
const ull    mx    = 133333331;

/*****************************************************/
inline void RI(int &x) {
      char c;
      while((c=getchar())<'0' || c>'9');
      x=c-'0';
      while((c=getchar())>='0' && c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0';
 }
/*****************************************************/

int a[MAX][MAX];
int st[MAX];
int l[MAX][MAX],r[MAX][MAX],up[MAX][MAX],down[MAX][MAX];

unsigned cal(unsigned a,unsigned b,unsigned c,unsigned d){
    return ((a+1)*(c+1)*(a+c+2)/2)*((b+1)*(d+1)*(b+d+2)/2);
}
int main(){
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    int t;
    cin>>t;
    while(t--){
        int n,m;
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=m;j++){
                scanf("%d",&a[i][j]);
                l[i][j]=1;
                r[i][j]=m;
                up[i][j]=1;
                down[i][j]=n;
            }
        }
        for(int i=1;i<=n;i++){
            int top=0;
            st[++top]=0;
            for(int j=1;j<=m;j++){
                while(top>1&&a[i][st[top]]>a[i][j]){
                    r[i][st[top]]=min(j-1,r[i][st[top]]);
                    top--;
                }
                if(top>1&&a[i][st[top]]==a[i][j]) l[i][j]=max(l[i][j],st[top]+1);
                while(top>1&&a[i][st[top]]==a[i][j]){
                    r[i][st[top]]=min(j-1,r[i][st[top]]);
                    top--;
                }
                l[i][j]=max(l[i][j],st[top]+1);
                st[++top]=j;
            }
        }
        for(int j=1;j<=m;j++){
            int top=0;
            st[++top]=0;
            for(int i=1;i<=n;i++){
                while(top>1&&a[st[top]][j]<a[i][j]){
                    down[st[top]][j]=min(down[st[top]][j],i-1);
                    top--;
                }
                if(top>1&&a[st[top]][j]==a[i][j]) up[i][j]=max(up[i][j],st[top]+1);
                while(top>1&&a[st[top]][j]==a[i][j]){
                    down[st[top]][j]=min(down[st[top]][j],i-1);
                    top--;
                }
                up[i][j]=max(up[i][j],st[top]+1);
                st[++top]=i;
            }
        }
        unsigned ans=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=m;j++){
                unsigned x=i-up[i][j];
                unsigned y=j-l[i][j];
                unsigned z=down[i][j]-i;
                unsigned w=r[i][j]-j;
                unsigned tmp=a[i][j];
                ans+=cal(x,y,z,w)*tmp;
            }
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}