文章讨论了一种解决树的重心问题的方法，通过假设1为根节点，计算子树大小并使用二分查找和分块策略来判断哪些节点可能成为重心。文章详细阐述了不同情况下的条件和转换，包括特殊情况和一般情况的分析，以及如何动态维护数组来处理链上的节点。最后，作者提供了代码实现，并指出虽然时间复杂度看似较高，但在实际应用中效率尚可。
前言
一道好题，也就花了我一个下午而已。
本人做法比较清奇，可以当做开阔思路参考，并不太建议实操（太难调了！）。
文章较啰嗦，谅解。
思路
众所周知，我并不太喜推式子，所以我们考虑直接根据题目限定的条件硬刚。
首先，我们先假定 111 为根，并求出每个点的子树的大小，记为数组 sizesizesize，并且再维护一下每一个点的时间戳。
接着我们考虑一种特殊情况，即如果 111 可以为树的重心的情况，那么他就会有接下来的两种子情况：
-
他所有的儿子的 sizesizesize 全部小于等于 n2\dfrac {n}{2}2n。
-
有一个儿子 xxx 的 sizesizesize 大于 n2\dfrac {n}{2}2n，且这个儿子的子树上一定能找到一个点 yyy 满足 sizex−sizey≤n2,sizey≤n2size_x-size_y \le \dfrac{n}{2},size_y\le \dfrac{n}{2}sizex−sizey≤2n,sizey≤2n。（把这个子树拆下来接到 111 上就可以满足重心的条件）
第二种情况不是很理解的话可以看下面这张图：
只有两种情况满足其一，那么 111 就可以成为树的重心。
接下来，我们迁移到一般的情况，那么就需要考虑除了他子树以外的情况。
对于树上的任意节点 xxx，要让他成为树的重心，就会有接下来的三种情况。
-
他所有的儿子的 sizesizesize 全部小于等于 n2\dfrac{n}{2}2n，并且 n−sizex≤n2n-size_x \le \dfrac{n}{2}n−sizex≤2n。
-
同根节点的第二种情况。
-
n−sizex>n2n-size_x > \dfrac{n}{2}n−sizex>2n，即删除 xxx 后，不属于他子树的那一部分超过了重心的限制。那么在其中，我们又要分为两种情况。首先选择一个不在 xxx 子树上的点 yyy。如果 yyy 不在根节点到 xxx 的那条链上，那么只需要满足 sizey≤n2,n−sizex−sizey≤n2size_y \le \dfrac{n}{2},n-size_x-size_y\le \dfrac{n}{2}sizey≤2n,n−sizex−sizey≤2n。否则，我们拆下来的，就是除了 yyy 子树以外的部分,接到 xxx 上面去（毕竟你不可以把 xxx 的子树也拆下来，不然就会没有任何效果。），即满足条件 sizey−sizez≤n2,n−sizey≤n2size_y-size_z\le \dfrac{n}{2},n-size_y \le \dfrac{n}{2}sizey−sizez≤2n,n−sizey≤2n，只要找到一个符合条件的 yyy 即可。
那么接下来，问题就转化为了 xxx 能不能找到一个符合条件的 yyy。（毕竟第一个条件很好解决。）
接着继续转化问题，对于情况2，我们可以移一下项，将其转化为 yyy 满足条件 sizex−n2≤sizey≤n2size_x-\dfrac{n}{2} \le size_y \le \dfrac{n}{2}sizex−2n≤sizey≤2n，且 dfnx≤dfny≤dfnx+sizex−1dfn_x \le dfn_y \le dfn_x+size_x-1dfnx≤dfny≤dfnx+sizex−1。
对于情况三的第一种情况，我们也可以移一下项，转化为 n−sizex−n2≤sizey≤n2n-size_x-\dfrac{n}{2} \le size_y \le \dfrac{n}{2}n−sizex−2n≤sizey≤2n，且 dfny<dfnx,dfny>dfnx+sizex−1dfn_y<dfn_x,dfn_y>dfn_x+size_x-1dfny<dfnx,dfny>dfnx+sizex−1（对于不在链上这一限制，后面会说怎么处理）。
这两种情况都可以看做有四个常数 p,q,l,rp,q,l,rp,q,l,r，判断是否有对于 x∈[p,q],y∈[l,r]x \in [p,q],y \in [l,r]x∈[p,q],y∈[l,r] 存在 x=sizeyx=size_yx=sizey。
显然，我们可以对于 sizesizesize 分块，然后开两个 setsetset a,ba,ba,b，axa_xax （为什么用set后面会解释。）里面放所有 size=xsize=xsize=x 的所有下标，bxb_xbx 放 sizesizesize 属于 xxx 这个块的所有的下标。最后查询时，以 sizesizesize 为第一维，对于散块，在 aaa 中二分，看有没有满足属于 [l,r][l,r][l,r] 的值，对于整块，则在 bbb 中二分。
接着，我们看向比较难处理的情况三的第二种情况。
我们可以动态维护一个数组，依次储存从根到该节点的链上的所有 sizesizesize 值，可以发现是单调递减。并且记得在加入数组时，删除他在 a,ba,ba,b 中的值，在删除数组元素时，加回去。（因为必须要保证在情况三的情况1解决时要不包含这些在链上的元素）。这里的删除和加入就解释了为什么要采用 set。接着可以先在数组中二分找出满足 n−sizey≤n2n-size_y \le \dfrac{n}{2}n−sizey≤2n 的 yyy 的范围，然后在这个范围中继续二分找出是否存在满足 sizey−sizez≤n2size_y-size_z\le \dfrac{n}{2}sizey−sizez≤2n 的 yyy，那么就解决了情况3的第二种情况。
时间复杂度，分块+二分，及 nnlognn \sqrt n \log nnnlogn，但因为二分的区间长度不可能每次都是顶着的，所以远远达不到这个上界，但仍然很慢。
所以问题就 迎刃而解 了！
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
struct node
{
int tar,nxt;
}arr[800005];
int fst[400005],cnt;
void adds(int x,int y)
{
arr[++cnt].tar=y,arr[cnt].nxt=fst[x],fst[x]=cnt;
}
int size[400005],dfn[400005],tot,rnk[400005];
int klen,len;
set<int> a[400005],b[100005];
bool dp[400005];
void dfs(int x,int last)
{
dfn[x]=++tot;
rnk[dfn[x]]=x;
for(int i=fst[x];i;i=arr[i].nxt)
{
int j=arr[i].tar;
if(j==last) continue;
dfs(j,x);
size[dfn[x]]+=size[dfn[j]];
}
size[dfn[x]]++;
}
int getk(int x)
{
return ceil(x/(klen*1.0));
}
int lk(int x)
{
// cout<<x<<" "<<(x-1)*klen+1<<endl;
return (x-1)*klen+1;
}
int rk(int x)
{
if(x==len) return n;
else return x*klen;
}
bool ch1(int p,int x,int y)
{
// cout<<p<<" "<<x<<" "<<y<<endl;
set<int>::iterator q=a[p].lower_bound(x);
if(q==a[p].end()) return false;
else if(*q<=y) return true;
else return false;
}
bool ch2(int p,int x,int y)
{
set<int>::iterator q=b[p].lower_bound(x);
if(q==b[p].end()) return false;
else if(*q<=y) return true;
else return false;
}
bool check(int l,int r,int x,int y)
{
// cout<<l<<" "<<r<<" "<<x<<" "<<y<<endl;
if(l>r) return false;
int p=getk(x)+1,q=getk(y)-1;
int pp=rk(getk(x)),qq=lk(getk(y));
if(p>q)
{
for(int i=x;i<=y;++i) if(ch1(i,l,r)) return true;
}
else
{
for(int i=x;i<=pp;++i) if(ch1(i,l,r)) return true;
for(int i=qq;i<=y;++i) if(ch1(i,l,r)) return true;
for(int i=p;i<=q;++i) if(ch2(i,l,r)) return true;
}
return false;
}
int p[400005],tail=400001;
void add(int x)
{
p[--tail]=size[dfn[x]];
x=dfn[x];
set<int>::iterator q=a[size[x]].lower_bound(x);
a[size[x]].erase(q);
q=b[getk(size[x])].lower_bound(x);
b[getk(size[x])].erase(q);
}
void del(int x)
{
tail++;
x=dfn[x];
a[size[x]].insert(x);
b[getk(size[x])].insert(x);
}
void get_ans(int x,int last)
{
if(x!=1)
add(x);
int flg=0,num=0,l,r;
bool bj=0;
for(int i=fst[x];i;i=arr[i].nxt)
{
int j=arr[i].tar;
if(j==last) continue;
if(size[dfn[j]]>n/2) flg++,num=size[dfn[j]],l=dfn[j],r=dfn[j]+size[dfn[j]]-1;
get_ans(j,x);
}
del(x);
if(n-size[dfn[x]]>n/2) flg++,num=n-size[dfn[x]],bj=1;
if(flg>=2) return;
if(flg==0)
{
dp[x]=1;
return;
}
if(!bj)
{
if(check(l,r,num-n/2,n/2))
dp[x]=1;
}
else
{
//x,x+size[x]-1
if(check(1,dfn[x]-1,num-n/2,n/2)||check(dfn[x]+size[dfn[x]],n,num-n/2,n/2))
dp[x]=1;
if(dp[x])
{
return;
}
// cout<<x<<" "<<1<<endl;
int ll=lower_bound(p+tail,p+400000+1,n-n/2)-p,rr=400000,mid,ans;
while(ll<=rr)
{
mid=(ll+rr)>>1;
if(p[mid]-size[dfn[x]]<=n/2)
{
dp[x]=1;
break;
}
else
{
rr=mid-1;
}
}
}
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<n;++i)
{
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
adds(x,y);
adds(y,x);
}
klen=sqrt(n),len;
if(klen*klen==n) len=klen;
else len=klen+1;
dfs(1,0);
for(int i=1;i<=n;++i) a[size[i]].insert(i),b[getk(size[i])].insert(i);
get_ans(1,0);
for(int i=1;i<=n;++i) printf("%d ",dp[i]);
}
暴力出奇迹！！！！！
The End \Huge\mathscr{The\ End} The End
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