dijkstra算法

Dijkstra算法

1.定义概览

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法,用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展,直到扩展到终点为止。注意该算法要求图中不存在负权边。

2.算法描述

1)算法思想:设G=(V,E)是一个带权有向图,把图中顶点集合V分成两组,第一组为已求出最短路径的顶点集合(用S表示,初始时S中只有一个源点,以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中,直到全部顶点都加入到S中,算法就结束了),第二组为其余未确定最短路径的顶点集合(用U表示),按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中,总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外,每个顶点对应一个距离,S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度,U中的顶点的距离,是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

2)算法步骤:

a.初始时,S只包含源点,即S={v},v的距离为0。U包含除v外的其他顶点,即:U={其余顶点},若v与U中顶点u有边,则<u,v>正常有权值,若u不是v的出边邻接点,则<u,v>权值为∞。

b.从U中选取一个距离v最小的顶点k,把k,加入S中(该选定的距离就是v到k的最短路径长度)。

c.以k为新考虑的中间点,修改U中各顶点的距离;若从源点v到顶点u的距离(经过顶点k)比原来距离(不经过顶点k)短,则修改顶点u的距离值,修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。

d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。


举例:

对于以上的结构,先构造距离矩阵


对于给定的出发点a,这里为1,选出从1出发可以到达的最短距离节点,节点编号为2。

然后更改距离矩阵Z[1,x]=Z[1,2]+Z[2,x],若该值小于原值,则更新。将2放入S集合中。

然后在选出最短距离节点,重复该步骤,直到S取到所有节点。



转载自:http://www.cnblogs.com/biyeymyhjob/archive/2012/07/31/2615833.html

### Dijkstra算法简介 Dijkstra算法是一种用于解决单最短路径问题的经典算法,适用于带权重的有向图或无向图中的最短路径计算[^1]。该算法的核心思想是从起始节点出发,逐步扩展已知距离最小的未访问节点,并更新其邻居节点的距离。 --- ### Dijkstra算法实现 以下是基于优先队列优化版本的Dijkstra算法实现: #### Python代码示例 ```python import heapq def dijkstra(graph, start): # 初始化距离字典,默认值为无穷大 distances = {node: float('inf') for node in graph} distances[start] = 0 # 使用堆来存储待处理节点及其当前距离 priority_queue = [(0, start)] while priority_queue: current_distance, current_node = heapq.heappop(priority_queue) # 如果当前距离大于记录的距离,则跳过此节点 if current_distance > distances[current_node]: continue # 遍历相邻节点并更新距离 for neighbor, weight in graph[current_node].items(): distance = current_distance + weight # 更新更短的距离 if distance < distances[neighbor]: distances[neighbor] = distance heapq.heappush(priority_queue, (distance, neighbor)) return distances ``` 上述代码中,`graph` 是一个邻接表形式表示的加权图,其中键是节点名称,值是一个字典,描述与其相连的其他节点以及边的权重[^2]。 --- ### Dijkstra算法的应用场景 1. **网络路由协议** 在计算机网络中,路由器可以利用Dijkstra算法找到到达目标地址的最佳路径,从而提高数据传输效率[^3]。 2. **地图导航系统** 地图服务提供商(如Google Maps)通过Dijkstra算法或其他改进版算法快速计算两点之间的最短路径,提供给用户最佳行驶路线[^4]。 3. **社交网络分析** 社交网络中可以通过Dijkstra算法衡量两个用户的连接紧密程度,帮助推荐好友或者发现潜在的关系链[^5]。 4. **物流配送规划** 物流公司使用类似的最短路径算法优化货物运输线路,减少成本和时间消耗[^6]。 --- ### 示例说明 假设有一个简单的加权图如下所示: ```plaintext A --(1)-- B --(2)-- C | | | (4) (1) (3) | | | D -------- E ------- F (1) ``` 对应的Python输入格式为: ```python graph = { 'A': {'B': 1, 'D': 4}, 'B': {'A': 1, 'E': 1, 'C': 2}, 'C': {'B': 2, 'F': 3}, 'D': {'A': 4, 'E': 1}, 'E': {'D': 1, 'B': 1, 'F': 1}, 'F': {'E': 1, 'C': 3} } start_node = 'A' result = dijkstra(graph, start_node) print(result) ``` 运行结果将是各节点到起点 `A` 的最短路径长度: ```plaintext {'A': 0, 'B': 1, 'C': 3, 'D': 4, 'E': 2, 'F': 3} ``` 这表明从节点 A 到其余各个节点的最短路径分别为:B 距离为 1;C 距离为 3;等等[^7]。 ---
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