【20240606】欧式空间 正交变换和正交矩阵

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8.4 正交变换和正交矩阵

$\varphi$ $\phi$ $\alpha$ $\beta$ $\in$ $\psi$ $\cos$ $\sin$

定义8.4.1

设V是n维欧氏空间,$\phi$是$V$的线性变换. 如果$\phi$保持内积, 即对任意$\alpha ,\beta \in V$总成立
$(\varphi (\alpha ,\beta ),\varphi (\beta ))=(\alpha ,\beta )$
则称$\phi$是正交变换.

定理8.4.1

设 $\phi$是n 维欧氏空间V 的线性变换, 则下列条件等价:
(1) $\phi$ 是正交变换;
(2) $\phi$ 保持长度不变;
(3) $\phi$ 将V 的标准正交基变成标准正交基;
(4) $\phi$ 在V 的标准正交基下矩阵是正交阵.

注1

n 阶正交阵可视为n维欧氏空间V 中两个标准正交基的过渡矩阵.

注2

n阶正交阵还可视为n 维欧氏空间V 的正交变换在V 的标准正交基下的矩阵.

注3

若 是正交变换, 则
(1) 可逆, 且 也是正交变换;
(2) 为正交变换.

定理8.4.2

设n阶实矩阵A为正交阵, 则(1) A 的行列式为(2) A 的在 上的特征值的长度为1.

引理8.4.1

设A为正交阵, (b≠0)为A的一个复特征值, 为对应的特征向量, 其中 , 则 且l注:因 , 故可设cossin(,),(,)sincosAabAbaaibXi||||.,221,ab1cos,sin.abcossin(,)(,).

定理8.4.3$\varphi$ $\phi$ $\alpha$ $\beta$ $\in$ $\psi$ $\cos$ $\sin$

设A为正交阵, 则存在正交阵Q, 使 其中1111cossincossin{,…,}.sincossincosllrslldiagEE1111cossincossin{,…,’

$diag(\left(\begin{array}{cc}\cos {\theta }_1& -\sin {\theta }_1\\ \sin {\theta }_1& \cos {\theta }_1\end{array}\right))$

定理8.4.3’

设 是n 维欧氏空间V 的正交变换, 则存在一个标准正交基, 使得 在此基下的矩阵是

8.1内积和欧氏空间

定义8.1.1

设V是 $\mathbb{R}$上线性空间，映射(-,-): 称为内积, 如果对任意 有\alpha \beta \gamma
(1)$(\alpha ,\beta )=(\beta ,\alpha )$
(2) $=$
(3)$=$
(4) 且等号成立当且仅当 .则称V为关于内积( - , - )的Euclid(欧几里得)空间，简称欧氏空间

注1:

欧氏空间V 的维数可以是有限维的，也可以是无限维的.

注2:

设U是欧氏空间V 的子空间，则易见U关于V 的内积也构成欧氏空间，称为欧氏子空间.