【BashuOJ1145】虚-组合数+求逆元

测试地址：虚
题目大意：在一个数轴上走，一开始在原点，每秒有$1/4$概率向左走一个单位，有$1/4$概率向右走一个单位，有$1/2$概率不动，问$t$秒后走到坐标$p$的概率，对$10^9+7$取模。
做法：这一套题，三道题我只会做第一道，好气啊！
（顺带一提，这三题题目拼音合起来是xu yi miao…你们这样都是要负责的）
这一题可以用组合数学中母函数的思想来想，不懂什么是母函数的同学可以去查。这里我们可以求$t$秒后走到各个位置概率的数列的母函数。首先，根据题目中的条件，可以写出$1$秒后走到各位置概率的母函数：$\frac{1}{4}x^{-1}+\frac{1}{2}x^0+\frac{1}{4}x^1$，可以看到$x^p$项的系数就是走到位置$p$的概率。利用母函数的特性，$t$秒后走到各位置概率的母函数就是$(\frac{1}{4}x^{-1}+\frac{1}{2}x^0+\frac{1}{4}x^1)^t$，也就等于$\frac{1}{2^{2t}}\Big (\frac{(x^0+x^1)^2}{x}\Big )^t$。我们把原式乘上一个$x^t$，那么剩下的式子就可以很容易地求某一项的系数了，需要注意的是，原来我们要求$x^p$项的系数，而乘上$x^t$后，我们要求的系数就变成$x^{p+t}$的系数了，那么我们要求的答案显然就是：$C_{2t}^{p+t}/2^{2t}$。利用扩展欧几里得求逆元就可以求出对应的组合数求模的解了。
当然你也可以不用看上面这些废话，官方的题解是把每秒拆成两秒，每秒有$1/2$概率向左移动，有$1/2$概率向后移动，这种方式和原题中的移动方式等价，最后也可以推出答案。
以下是本人代码：

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define ll long long
#define mod 1000000007
using namespace std;
ll t,p,f[200010];

void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    ll x0=1,x1=0,y0=0,y1=1;
    while(b)
    {
        ll q,tmp;
        q=a/b;
        tmp=x0-q*x1,x0=x1,x1=tmp;
        tmp=y0-q*y1,y0=y1,y1=tmp;
        tmp=a%b,a=b,b=tmp;
    }
    x=x0,y=y0;
}

ll inv(ll x)
{
    ll a,b;
    exgcd(x,mod,a,b);
    return ((a%mod)+mod)%mod;
}

ll C(ll n,ll m)
{
    if (m>n||m<0) return 0;
    ll ans=f[n];
    ans=(ans*inv(f[m]))%mod;
    ans=(ans*inv(f[n-m]))%mod;
    return ans;
}

ll power(ll a,ll b)
{
    ll s=1,ss=a;
    while(b)
    {
        if (b&1) s=(s*ss)%mod;
        b>>=1;ss=(ss*ss)%mod;
    }
    return s;
}

int main()
{
    scanf("%lld%lld",&t,&p);
    f[0]=1;
    for(ll i=1;i<=2*t;i++)
        f[i]=(f[i-1]*i)%mod;

    ll ans;
    ans=C(2*t,p+t);
    ans=(ans*inv(power(2,2*t)))%mod;
    printf("%lld",ans);

    return 0;
}