前缀和和差分数组

Maxpicca

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分类专栏：数据结构和算法文章标签：数据结构矩阵算法

于 2022-01-20 21:23:04 首次发布

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- 前缀和

前缀和

学习参考视频：STUACM-算法入门-前缀和与差分(含二维)_哔哩哔哩_bilibili

一维前缀和

前缀和：给定数组 $a r r [0 . . N]$ ， $s u m [i]$ 表示 $a r r [0 . . . i]$ 区间和。

$\begin{cases} sum[0]=arr[0] &,i=0 \\ sum[i] = sum[i-1]+arr[i]&,i>0 \\ \end{cases}$

实际应用——区间和：sum(L,R) 表示 $a r r [L . . . R]$ 的区间和。暴力计算时间复杂度为 $O (N)$
$\begin{cases} sum[R]&,L=0 \\ sum[R]-sum[L-1] &,L>0\\ \end{cases}$

一维差分

区间加法： add(L,R,v)： $a r r [L . . . R]$ 的每个数加上v

差分数组： $d$ 为 $a c c$ 的差分数组，且 $d$ 的前缀和 $sum_d$ 即为原数组 $a c c$ 。

$\begin{cases} arr[i] - arr[i-1] &,i>0 \\ arr[i] &,i=0\\ \end{cases}$

实际应用——累计区间加法：区间操作add(L,R,v) 等价于 $d [L] + v, d [R + 1] = v$

原因分析
- d[L]+v，是指arr[L…N]都加上v
- d[R+1]-v，是指arr[R+1…N]都减去v，以抵消d[L]+v对[R+1…N]的影响
复杂度分析
数组长度N，M次操作，则为 $O (M + N)$
应用场景：
- 多次操作一次询问：差分数组
- 一次操作一次询问：线段树

一般情况下，不会基于arr记录结果差分，而是基于全0数组记录操作差分，通过前缀和得到总的操作 $\Delta d$ ，原数组最后的结果为 $\Delta d$

二维前缀和

给定矩阵 $M[n\times m]$

矩阵和：sum(a,b,c,d)，(a,b)到(c,d)的和，即以(a,b)和(c,d)为对角顶点的矩阵和，暴力计算时间复杂度为 $O (n m)$

定义： $s u m [i] [j]$ 是从(0,0)到(i,j)的和
$\begin{cases} sum[0][j] = sum[0][j-1]+M[0][j]&,i=0,j\neq 0\\ sum[i][0] = sum[i-1][0]+M[i][0]&,i\neq0,j= 0\\ sum[i][j] = M[i][j] + sum[i-1][j] + sum[i][j-1] - sum[i-1][j-1]&,other \\ \end{cases}$
矩阵和
$\begin{cases} sum[x2][y2]-sum[x2][y1- 1]&,x1=0 \\ sum[x2][y2] - sum[x1-1][y2]&,y1=0\\ sum[x2][y2]-sum[x1-1][y1]&,y1=y2 \\ sum[x2][y2] - sum[x1-1][y2]-sum[x2][y1- 1]+sum[x1-1][y1-1]&,other \end{cases}$

void pre_sum(int*){
    sum[0][0] = M[0][0]; // 第一个
    for(int i=1;i<n;i++) sum[i][0] = sum[i-1][0]+M[i][0]; // 第一列
    for(int j=1;j<m;j++) sum[0][j] = sum[0][j-1]+M[0][j]; // 第一行
    for(int i=1;i<n;i++)
        for(int j=1;j<m;j++)
            sum[i][j] = sum[i-1][j] + sum[i][j-1] - sum[i-1][j-1] + M[i][j];
}
void get_sum(int x1,int y1, int x2, int y2){
    if(!x1 && !y1) return sum[x2][y2];
    if(!x1) return sum[x2][y2]-sum[x2][y1-1];
    if(!y1) return sum[x2][y2]-sum[x1-1][y2];
    return sum[x2][y2]-sum[x2][y1-1]-sum[x1-1][y2]+sum[x1-1][y1-1];
}

二维差分

add(x1,y1,x2,y2,v)表示以(x1,y1)和(x2,y2)为对角顶点的部分同时加上v

以下基于全0数组记录操作差分：（原理和一维差分类似，就不列公式了）

int d[n+1][m+1] = {0}; // 边界扩大1，避免右/下边界判断
void add(x1,y1,x2,y2,v){
    d[x1][y1]+=v;
    d[x2+1][y1]-=v;
    d[x1][y2+1]-=v;
    d[x2+1][y2+1]+=v;
}
// 操作结束后，对d求pre_sum，得到delta_d，M+=delta_d即为操作结果