趣味博弈论 -- 阶梯博弈

前言

阶梯博弈是一种nim游戏的变类， 它的主要思想是对奇数阶梯进行nim游戏.

介绍

什么是阶梯博弈？就是给你一个阶梯， 这个阶梯每一级上有一堆石子， 你可以每次选择某一级， 将这一级上的一些石子推到下一级. 当第一级的石子被推下就到了地上. 现在两个人轮流取石子. 当某个人取时， 刚好阶梯上没有石子， 这个人就输了.

做法

其实就是对奇数阶梯上的堆作nim， 等下我们再来说他的正确性.

先说说怎么保证能正常做nim吧. 我们每次把奇数阶梯上的石子推到偶数阶梯上， 就好比取掉奇数阶梯上的石子(因为我们忽略了偶数阶梯， 只对奇数做nim). 我们每次就去选奇数阶梯的石子去推. 

但是对手可能不会遵守我们所说的奇数nim的玩法， 比如说对手可能把偶数阶梯的石子推向奇数阶梯， 这就不对劲了——你在做对奇数阶梯的nim游戏， 你对手将某一堆石子变多了？ 我们不能改变对手， 我们就试图将一切恢复正常， 他推了偶数阶梯的石子， 推到了奇数阶梯， 你再把这个奇数阶梯多的石子再往下推到偶数阶梯， 那么所有奇数阶梯的石子都没有被改变，并且玩家先后顺序也没有改变， 这就避免了非法情况.

那么奇数阶梯的nim做完， 也就是说奇数阶梯上的石子都被取完了， 但是还有偶数阶梯上还有石子. 那么对于奇数阶梯上的石子恰好没有了的时刻， 谁此时是先手谁就必输. 因为此时的先手只能推偶数阶梯上的石子到奇数阶梯上去， 此时的后手只需要跟着先手的步伐， 再把先手转移到奇数阶梯上的石子又推到偶数阶梯上去. 这样一来， 先手每次就只能推偶数阶梯上的石子， 1号阶梯上的石子——1作为奇数， 只能由后手来推， 那么最后的石子一定被后手推下去.

这就证明了对奇数阶梯做nim的正确性. 若对偶数阶梯做nim， 做完nim最后还剩阶梯上的奇数石子， 此时无法确定当前时刻先手后手谁赢. 可以参考上一段最后几句做完nim关于谁赢的正确性.

综上， 我们只需要对奇数阶梯做nim， 最后我们就能知道取走最后一堆奇数阶梯上的石子的是谁， 这个nim游戏的赢家， 也就会成为对只剩偶数阶梯上的石子的游戏局面的后手， 成为最终赢家.

阶梯博弈， 不得不说， 实在是有趣.

参考题  点这里.