树状数组题集[不断更新]

一. 基本原理

从图中可以看到，树状数组中用的C[]，每个点都有一定的管辖范围；

如C[1]=a[1];

C[2]=a[1]+a[2];

C[3]=a[3];

C[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4];等等；

这样的结构关键是为了，对一个数组内部动态的删除，增加，来高效的求某个点或者某个区间的值；

比如说对数组a，改变某一位的值需O（1），求某个k区间值O（k）；

这样的m次操作是用O（m*k）；

显然数据很大时，效率要差很多；

而树状数组，它改变某一位，或者求某个区间的和，都是O（logN）；效率大为改善；

对于上图怎么计算区间的和；关键是需要几个函数；

先说树状数组最简单的用法，修改上面图中的某个点，并求某段区间的和；

第一个函数；

int lowbit(int x)
{
    return x&(-x);
}

这个函数主要是用来求的是某个点管辖范围；

x&(-x);这个东西的由来就不说了。。。灰常奇妙啊。。

如果是x+=x&(-x);就是得到的改点的父节点的值；比如x=4时；就能得到8；

而x-=x&(-x)的话，就是得到x这个点的管辖区间的下个区间的管辖点；

比如说，x=7,代入后6；不断循环到0能依次得到 6.。。4.；

把他们所有的管辖区间正好是1....7；

第二个函数

void update(int x,int num)
{
    while(x<=N)
     {
         d[x]+=num;
         x+=lowbit(x);
     }
}

这个函数，是用来修改树状数组的；

如果是一般的算法只用修改改点就可；但是树状数组必须修改所有改点被管辖的区间；

比如把a数组的 a[2]减去1，（令N=16）；则所有2被管辖的点有4，8，16都应该减去1；

就是调用函数 update（2，-1）；
第三个函数

int getSum(int x)
{
    int s=0;
    while(x>0)
     {
         s+=d[x];
         x-=lowbit(x);
     }
    return s;
}

这个函数就是求区间和了。。比如getSum（7）的话，就是求a[1]+a[2]+...a[7];

上面是最基本的用法；要学习树状数组必须把上面的过程原理搞明白；

搞明白d数组和原来a数组的区别，初学者应该自己画一画；

二. 树状数组的变形应用

<1> 每次修改的是一个点，所求的是关于某段区间；

这种情况最好办；比如说poj2352 stars；求每个点前面比他小的点的个数；

只用设置数组a[],先全是0，然后有某个点就依次修改，并以此统计；

这一种是最基本的向上修改，向下统计；（基本上都是。。。）

<2> 每次修改的是一个区间，所求的值是关于某个点的；

代表的典型题目是HOJ1556 color the ball；

这个题是每次修改了一整个区间，最后求的是每个点修改的次数；

这个需要将上面的函数，稍加修改；

<span style="font-size:18px;">void update(int x,int num)
{
    while(x>0)
     {
         d[x]+=num;
         x-=lowbit(x);
     }
}</span>

要向下修改，将它后面的区间都加一遍；

再向后修改，把不必要的修改区间再减去；

用他的父节点记录每个点的染色次数；

统计时要

<span style="font-size:18px;">int getSum(int x)
{
    int s=0;
    while(x<=N)
     {
         s+=d[x];
         x+=lowbit(x);
     }
    return s;
}</span>

这种修改一个区间，而求某个点的修改次数的，一般的都是向下修改，向上统计；

对于二维的情况，d[][]中的d[i][j]这个点也有他自己的管辖区间，从一维推广到二维；可以很容易理解；

一维情况是一段区间的管辖范围，二维就是一个矩形的管辖范围，而每一维可以独立考虑；

三. 题目分析

一，两种情况；

1，要向上统计，向下修改；一般是修改一段区间的值，查找的是某个位上的值；

HDU1556 color the ball；

这个题是这类题最基本的；关键是理解这个向上统计，向下修改时怎么操作的和原理；

poj2155 Matrix

这个是楼天成出的题目；是一道很典型的二维数状数组的应用；是hdu1556的二维版本；

记住要向上统计，向下修改；二维情况，最主要的是理解那个数组中的每个点保存的值的意义（一个矩形区域的总和）；最后记住取余；

poj2299 Ultra-QuickSort；（求逆序数）；

这个题可以用归并排序做出，这里就略过不说了。。

求逆序数，也是树状数组的典型应用，求一堆数中前面比他大的数的个数；也需要向上统计，向下修改；

可以与求一串数中前面比他小的数的个数这个题来比较思考。。。

poj3067 Japan

此题要先对x排序，再对y求那个前面比他大的数的个数；（理解下）；

也是基本应用；

二，2，要向上修改，向下统计；一般是修改某个位置上的值，查找的是一段区间的和；

poj2352 stars

这个题是最基本的一维情况，刚才已说过。。

poj1195 Mobile phone

是个二维的情况。改变的是某个位置上的数的大小；就将所有管辖这个点的 点修改；

统计的时候，就是向下统计；

poj2481 Cows

这个题要把y按不降排序，x不升排序，基本是就是poj2352了。。不过注意其中可以有完全重合区间；

poj3321 apple Tree;

这题要用到树状数组；但难度在那个dfs怎么求那个时间戳；求出后，在套入树状数组的那部分东东。就搞定了。。

poj1990 MooFest ;

这题O（n^2）算法必然超时；排序后要存储前面比他小的数的总和，和个数；故树状数组；

poj2309

树状数组的小试牛刀，一下搞定，想明白的话。。

可以用树状数组的地方，一定可以用线段树；反过来则不行；

但是，树状数组编码简单，对于一定区间修改，求值，很高效；

另外，一个讲树状数组灰常好的网址要吐血推荐。。。

http://www.topcoder.com/tc?module=Static&d1=tutorials&d2=binaryIndexedTrees#prob

树状数组，刚开始学习的时候觉得很神奇，特别是求lowbit的时候...写过几题之后，觉得这东西还是挺好用的。需要注意一个超时陷阱：x==0的情况

树状数组在动态求区间之和的问题时候是一个很好的选择。给出几个例题：

（1）：http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2352 starts

题目大意为在二维坐标上给出一些星星的坐标，求某一个星星左方，下方，左下方的星星个数。求解这题时学习到了 “降维” 的思想，首先把星星按照Y坐标从小到大，X从小到大排序。树状数组以X坐标建立。这样，在每次对一个星星进行统计时，之前出现过的星星，只要X坐标比其小，则必在其左，下，左下方。 这时，只需利用树状数组进行求从1~x的和既可，统计完之后要记得更新树状数组（后面附上代码） （注意坐标为0的情况，这里是一个超时陷阱）

（2）：http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2155 Matrix

二维树状数组，题目大意为一个二维矩形平面，里面有数字0或1，初始时全为0，给出两种操作，一种是改变一段子区间内的数值，把0改为1或者1改成0。另外一种是查询某一坐标上的数值是0还是1,。

数据范围：坐标N<=1000，操作数T <=50000。

解此题的方法很巧妙，首先我们考虑如果改变区间内数值时，把该区间内的每一个点都改变一次，那么时间一次操作就需要n^2，这样太耗时。想象一下，如果我们在求某一点的操作次数时，把求操作次数转化为求该点到（1,1）这点的和，那么我们在对某区间操作时，我们可设立四个哨兵来标记：

如图，当我们要改变区间（3,3）~（6,5）的数值时，分别在按照上图所示改变矩阵的数值，这时，区间内部到（1,1）点的和为1，而区间外部到（1,1）点的和为0，这样就吧问题转换为了动态求二维区间和的问题
，这时就用二维树状数组来解决既可

（3）：http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3321

题目大意为给出一棵树，节点数<=100000，树中的节点可能有苹果，两种操作：一种是改变某一节点的苹果，有改为无，无改为有。第二种操作是求某一节点和以该节点为根的子树的苹果总数。操作数达到了100000；

这题需要把一个树形结构变换为线性结构，然后使用树状数组动态求和。变换方法为DFS一次这棵树，记录下每个节点第一次访问和最后一次访问时的顺序编号，这时，在某节点第一次访问和最后一次访问编号之间的访问编号，必定为该节点的子节点，按照访问编号建立树状数组，当改变某一节点苹果时，只需按照该节点第一次访问的编号在树状数组中修改值，查询时统计某节点在第一次访问和最后一次访问编号之间的和。