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🔥 内容介绍
一、引言
路径规划作为人工智能和机器人领域的核心问题之一,旨在寻找从起点到终点的最优或近似最优路径。Dijkstra 算法和 A算法是解决这一问题的两种重要方法。Dijkstra 算法由荷兰计算机科学家 Edsger W. Dijkstra 于 1959 年提出,是一种广度优先搜索算法,能够找到图中从一个节点到其他所有节点的最短路径。A算法则是在 Dijkstra 算法的基础上发展而来,通过引入启发式函数,显著提高了搜索效率,尤其在大规模搜索空间中表现出明显优势。研究这两种算法的原理、特点及应用,对于推动路径规划技术的发展具有重要意义。
二、算法原理
2.1 Dijkstra 算法原理
Dijkstra 算法基于贪心策略,其核心思想是从起点开始,逐步扩展到距离起点最近的节点,并更新这些节点到起点的距离,直到所有可达节点都被访问。算法维护一个距离表,记录每个节点到起点的最短距离,并使用优先队列(最小堆)来选择当前距离最小的节点进行扩展。
算法步骤如下:
-
初始化:将起点的距离设为 0,其他节点的距离设为无穷大。
-
选择:从未访问节点中选择距离最小的节点。
-
扩展:更新该节点的邻居节点的距离。
-
标记:将该节点标记为已访问。
-
重复步骤 2-4,直到所有可达节点都被访问。
Dijkstra 算法的时间复杂度为 O (V²),其中 V 是节点数量。如果使用优先队列优化,时间复杂度可降低至 O ((V+E) logV),其中 E 是边的数量。
2.2 A * 算法原理
A算法是一种启发式搜索算法,它结合了 Dijkstra 算法的最优路径搜索能力和贪心最佳优先搜索的高效性。A算法使用一个评估函数 f (n) = g (n) + h (n) 来决定搜索顺序,其中:
-
g (n):从起点到节点 n 的实际代价。
-
h (n):从节点 n 到终点的估计代价(启发式函数)。
算法步骤如下:
-
初始化:将起点加入开放列表。
-
循环:
-
如果邻居节点在关闭列表中,忽略。
-
如果邻居节点不在开放列表中,加入开放列表,并设置其父节点为当前节点。
-
如果邻居节点已在开放列表中,检查是否通过当前节点到达该邻居节点的路径更短,如果是,则更新 g 值和父节点。
-
从开放列表中选择 f 值最小的节点。
-
如果该节点是终点,则路径找到,算法结束。
-
将该节点从开放列表移到关闭列表。
-
扩展该节点的邻居节点:
-
-
重复步骤 2,直到开放列表为空(表示没有路径)。
A算法的效率很大程度上取决于启发式函数 h (n) 的选择。如果 h (n) 始终小于或等于从节点 n 到终点的实际代价,则 A算法保证找到最优路径;如果 h (n) 越接近实际代价,算法的搜索效率越高。
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