【动力学】基于贝塞尔曲线和逆动力学导引律Matlab实现

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🔥 内容介绍

在机器人技术领域，运动规划是一项至关重要的任务，其目标是为机器人生成一条安全、高效且满足特定约束的运动轨迹。该轨迹通常需要在避开障碍物的同时，满足机器人的动力学特性，例如速度、加速度和力矩限制。本文旨在探讨一种基于贝塞尔曲线和平滑逆动力学导引律的运动规划方法，并阐述其在Matlab环境下的具体实现。该方法结合了几何规划的易用性与动力学规划的精确性，能够有效地解决复杂环境下的机器人运动规划问题。

一、 贝塞尔曲线：一种灵活的轨迹表示方式

贝塞尔曲线是一种参数化的曲线，由一组控制点定义。其最大的优势在于能够通过调整控制点的位置来灵活地控制曲线的形状，从而满足不同的轨迹需求。贝塞尔曲线具有以下几个显著特点：

• 凸包性： 曲线始终位于控制点的凸包内，这保证了轨迹的安全性，使其能够容易地避开障碍物。

• 端点插值： 曲线始终穿过起始控制点和终点控制点，确保轨迹的起始和结束位置准确。

• 连续可微： 贝塞尔曲线具有良好的平滑性，其导数存在且连续，能够保证机器人的平稳运动，避免因轨迹突变而产生的冲击。

• 易于计算： 贝塞尔曲线的数学表达式简单，易于在计算机上进行计算和生成。

在Matlab中，可以利用Bernstein基函数来计算贝塞尔曲线上的点。给定 n+1 个控制点 P₀, P₁, …, Pₙ，t ∈ [0, 1]，n 阶贝塞尔曲线的方程可以表示为：

B(t) = ∑ᵢ<binary data, 1 bytes><binary data, 1 bytes><binary data, 1 bytes>₀ⁿ Pᵢ * Bᵢ,ₙ(t)

其中，Bᵢ,ₙ(t) 是 Bernstein 基函数，定义为：

Bᵢ,ₙ(t) = C(n, i) * tⁱ * (1 - t)ⁿ⁻ⁱ

Matlab代码可以轻松实现该方程的计算，进而生成所需的贝塞尔曲线轨迹。 通过合理地选择控制点，可以规划出满足特定需求的轨迹，例如，连接两个点，绕过障碍物等。

二、 逆动力学导引律：保证动力学可行性的关键

仅仅保证轨迹的几何形状满足要求是不够的，还需要考虑机器人的动力学特性。逆动力学 (Inverse Dynamics, ID) 是一种计算给定轨迹所需的关节力矩/力的方法。 然而，直接使用逆动力学进行运动规划通常面临计算复杂度高、实时性差等问题。

为了解决这个问题，我们可以采用一种平滑的逆动力学导引律。 该方法的核心思想是： 并非直接使用逆动力学来生成轨迹，而是利用逆动力学来指导轨迹的生成，使得生成的轨迹满足动力学约束。 具体来说，可以进行如下操作：

1. 初始轨迹生成： 首先，利用贝塞尔曲线生成一条初始轨迹。该轨迹可能不满足动力学约束，例如，可能需要超过机器人电机最大力矩的力矩。

2. 逆动力学计算： 使用机器人动力学模型和初始轨迹，计算所需的关节力矩。

3. 动力学可行性评估： 检查计算得到的关节力矩是否超过机器人的动力学限制。如果超过，则需要对轨迹进行调整。

4. 轨迹调整： 根据动力学可行性评估的结果，对贝塞尔曲线的控制点进行调整。调整的目标是减小所需的关节力矩，使其满足动力学约束。调整策略可以采用多种方法，例如：

   • 梯度下降法： 将关节力矩超过限制的程度作为目标函数，利用梯度下降法调整控制点。

   • 优化算法： 利用优化算法 (例如，序列二次规划 SQP) 来寻找满足动力学约束的控制点。

   • 启发式方法： 基于经验或者规则，对控制点进行调整。

5. 迭代优化： 重复步骤 2-4，直到生成的轨迹满足动力学约束或者达到迭代上限。

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