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📋📋📋本文目录如下:🎁🎁🎁
目录
💥1 概述
在机器学习的回归分析领域,支持向量回归(Support Vector Regression,简称 SVR)是一种基于支持向量机(SVM)理论发展而来的重要算法,以其独特的优化策略和出色的泛化能力,在处理复杂回归问题时展现出显著优势,被广泛应用于众多学科与工程领域。
SVR 的核心原理基于结构风险最小化原则,旨在寻找一个最优超平面,使得样本点到该超平面的误差尽可能小。与传统回归方法追求预测值与真实值完全匹配不同,SVR 引入了 “ε - 不敏感带” 的概念。在这个误差带内,模型不计算误差,只有当预测值与真实值的偏差超出该误差带时,才会计算损失并进行优化。通过这种方式,SVR 对噪声和异常值具有更强的鲁棒性,能够有效避免过拟合现象。在实际计算中,SVR 通过引入松弛变量来允许部分样本点偏离误差带,同时通过惩罚因子 C 平衡模型的拟合精度与泛化能力。C 值越大,对误差的容忍度越低,模型越倾向于拟合训练数据;C 值越小,则模型的泛化能力越强。
核函数是 SVR 的另一个关键要素。SVR 通过核函数将低维空间中的非线性数据映射到高维空间,在高维空间中寻找线性回归超平面,从而巧妙地解决了非线性回归问题。常见的核函数包括线性核、多项式核、径向基函数(RBF)核和 Sigmoid 核等。不同的核函数具有不同的特性,适用于不同类型的数据分布。例如,RBF 核函数能够灵活地处理各种非线性关系,在实际应用中最为广泛;而线性核函数则适用于数据本身线性可分或近似线性可分的情况,计算效率更高。
支持向量回归具有诸多显著特点。其一,它在小样本数据的回归任务中表现出色,凭借其强大的非线性映射能力,能够从少量数据中挖掘出潜在规律,实现精准预测;其二,SVR 能够提供全局最优解,这得益于其基于凸优化的求解过程,避免了陷入局部最优的问题;其三,SVR 对高维数据具有良好的适应性,核函数的使用使其无需在高维空间中显式地计算数据映射,降低了计算复杂度。
在实际应用场景中,SVR 发挥着重要作用。在金融领域,可用于股票价格预测、风险评估等,帮助投资者制定决策;在工业生产中,能够对产品质量进行预测和控制,优化生产流程;在环境科学领域,可用于污染物浓度预测、气候变化分析等,为环境保护提供数据支持。
不过,SVR 也存在一定的局限性。一方面,它对核函数和参数(如 C 和 ε)的选择极为敏感,不同的参数设置会导致模型性能出现较大差异,而寻找最优参数往往需要耗费大量的时间和计算资源进行交叉验证;另一方面,在处理大规模数据时,SVR 的计算效率较低,训练时间长,限制了其在实时性要求较高场景中的应用。
综上所述,支持向量回归凭借独特的理论基础和优良的性能,成为回归分析中的重要工具。尽管存在参数选择和计算效率等方面的挑战,但随着技术的不断发展,如结合分布式计算、改进参数优化算法等,SVR 有望在更多领域发挥更大的价值,为复杂回归问题提供更高效、准确的解决方案。
📚2 运行结果
部分代码:
clc,clear,close all;
%% Load Data
x=linspace(0,10,40);
t=-1.35*x+15+1*randn(size(x));
n=numel(t);
%% Design Support Vector Regression
epsilon=1;
C=1;
H=zeros(n,n);
for i=1:n
for j=i:n
H(i,j)=x(:,i)'*x(:,j);
H(j,i)=H(i,j);
end
end
HH=[ H -H
-H H];
f=[-t'; t']+epsilon;
Aeq=[ones(1,n) -ones(1,n)];
beq=0;
lb=zeros(2*n,1);
ub=C*ones(2*n,1);
options=optimset('Display','iter','MaxIter',1000);
%% Calculating Support Vectors
alpha=quadprog(HH,f,[],[],Aeq,beq,lb,ub,[],options);
alpha=alpha';
%% Set zero for very negative ones
Setzero=(abs(alpha)<max(abs(alpha))*1e-4);
alpha(Setzero)=0;
alpha_plus=alpha(1:n);
alpha_minus=alpha(n+1:end);
eta=alpha_plus-alpha_minus;
S=find(alpha_plus+alpha_minus>0 & alpha_plus+alpha_minus<C);
w=0;
for i=1:n
w=w+eta(i)*x(:,i);
end
b=mean(t(S)-w'*x(:,S)-sign(eta(S))*epsilon);
%% Plot Results
figure;
p=plot(x,t,'hexagram');
p.Color = "magenta";
p.MarkerSize = 15;
hold on;
xmin=min(x);
xmax=max(x);
xx=linspace(xmin,xmax,500);
yy=w'*xx+b;
plot(xx,yy,'Color',[0.9290 0.6940 0.1250],'LineWidth',2);
plot(xx,yy+epsilon,'r:');
plot(xx,yy-epsilon,'b:');
legend('All Data', 'SVR Prediction','Upper Bound Data', 'Lower Bound Data');
xlabel('Input');
ylabel('Output');
set(gca,'fontname','Times New Roman','FontSize', 16); % Set fontname
🎉3 参考文献
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[1]谢波,程玉峰,谭冬维,等.基于支持向量机原理的高填方路基施工期沉降预测[J/OL].路基工程,1-7[2025-05-07].https://doi.org/10.13379/j.issn.1003-8825.202408042.
[2]Li S ,Yang X ,Ren H , et al.Non-parametric identification modeling and prediction of intelligent ship maneuvering motion based on real ship test at sea[J].Ocean Engineering,2025,330121267-121267.