【采用二维有限差分法FDM算法来解决泊松方程】在使用2D Poisson方程计算平行板电容器的电场时，将一个二维平行板电容器的横截面放置在计算域的中心研究附Matlab代码

原创于 2025-12-23 21:18:57 发布 · 267 阅读

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#算法 #matlab #数据结构

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在电磁学领域，平行板电容器的电场分布是基础且关键的研究对象，其电场计算的准确性直接影响电容器设计、性能分析等实际应用。泊松方程作为描述静电场分布的核心控制方程，能够精准表征电场强度与电荷密度之间的定量关系，因此采用数值方法求解泊松方程成为获取平行板电容器电场分布的有效途径。其中，二维有限差分法（FDM）凭借原理简洁、实现难度低、适配性强等优势，被广泛应用于二维静电场的数值计算中。

在具体计算过程中，为聚焦平行板电容器电场的核心分布特征，减少边界条件对核心区域电场计算的干扰，提升计算效率与精度，通常将二维平行板电容器的横截面放置于计算域的中心区域进行研究。二维平行板电容器的横截面可简化为“两平行极板+介质/真空区域”的二维模型，极板的几何参数（长度、间距）、极板电势以及介质的介电常数等为模型的核心输入参数。将该横截面置于计算域中心，能够使极板及周围电场核心区域处于计算域的“非边界区”，避免边界截断误差对核心电场分布计算结果的影响。

基于上述模型设定，采用二维有限差分法求解泊松方程的核心思路如下：首先，对包含电容器横截面的整个计算域进行网格离散化处理，将连续的计算域划分为若干规则的二维网格单元（通常为矩形网格），每个网格节点为电场电势的计算点；其次，根据静电场的泊松方程（∇²φ = -ρ/ε，其中φ为电势，ρ为电荷密度，ε为介电常数），结合有限差分原理，将微分方程转化为各网格节点电势的线性代数方程组——对于无自由电荷的介质区域，方程简化为拉普拉斯方程（∇²φ = 0），其有限差分格式可通过相邻节点电势的线性组合推导得出；再次，施加合理的边界条件，包括电容器两极板的固定电势边界（如正极板φ=U，负极板φ=0）以及计算域外边界的远场边界条件（如无穷远电势为0，可通过适当扩大计算域实现近似）；最后，求解线性代数方程组，得到所有网格节点的电势值，再通过电场强度与电势的微分关系（E = -∇φ），由电势分布推导得出电场强度的大小与方向分布，完成平行板电容器电场的数值计算。

将电容器横截面置于计算域中心的设计，不仅能提升计算精度，还便于后续对电场分布的分析与验证。例如，可通过提取计算域中心区域（即电容器极板附近及极板之间）的电势与电场数据，直观观察电场的均匀性、电场强度的大小分布规律，同时也能与理论解析解（平行板电容器内部电场近似为均匀电场，E=U/d，d为极板间距）进行对比，验证数值计算结果的可靠性。此外，该模型设定也为后续研究极板形状偏差、介质不均匀性等因素对电场分布的影响提供了灵活的扩展基础。