【线性滤波逼近函数比较】结果显示每个滤波器的幅度、相位和群延迟、频率响应，并绘制了极点和零点图附Python代码

原创于 2025-10-24 20:29:47 发布 · 779 阅读

29 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#1024程序员节

✅作者简介：热爱科研的Matlab仿真开发者，擅长数据处理、建模仿真、程序设计、完整代码获取、论文复现及科研仿真。

🍎 往期回顾关注个人主页：Matlab科研工作室

🍊个人信条：格物致知,完整Matlab代码及仿真咨询内容私信。

🔥 内容介绍

在信号处理领域，线性滤波器是不可或缺的组成部分，其功能在于对信号进行频率选择或时域整形。设计一个性能优异的线性滤波器，关键在于选择合适的逼近函数。不同的逼近函数在幅度响应、相位响应、群延迟以及极点零点分布上各有特点，适用于不同的应用场景。本文将深入探讨几种常见的线性滤波逼近函数，并对其特性进行比较分析。

1. 幅度响应 (Magnitude Response)

幅度响应是衡量滤波器对不同频率分量增益能力的关键指标。理想的滤波器在通带内增益为1，阻带内增益为0，且过渡带无限陡峭。然而，实际滤波器无法达到理想特性，各种逼近函数在实现幅度响应时各有侧重：

Butterworth 滤波器： 以其在通带内最平坦的幅度响应而闻名，即在通带内具有最大平坦度，没有纹波。随着阶数的增加，其过渡带会变得更陡峭，但阻带衰减速率相对较慢。Butterworth 滤波器的这一特性使其在对信号幅度失真要求严格的应用中表现出色，例如音频处理。
Chebyshev 滤波器 (Type I)： 相较于Butterworth滤波器，Chebyshev I型滤波器在通带内允许等纹波（ripple），但其过渡带衰减速度更快，从而在相同的阶数下能实现更高的阻带衰减。这种权衡使得Chebyshev I型滤波器在对过渡带陡峭度有较高要求的场合更为适用，例如通信系统中的信道选择。
Chebyshev 滤波器 (Type II)： 与I型滤波器相反，Chebyshev II型滤波器在阻带内具有等纹波，而通带内是单调平坦的。它的优点是阻带衰减特性更佳，但过渡带不如I型滤波器陡峭。适用于需要严格限制阻带泄漏的应用。
Elliptic (Cauer) 滤波器： Elliptic滤波器在通带和阻带内都存在等纹波，但它在给定阶数下能够提供最陡峭的过渡带。这意味着在相同的性能要求下，Elliptic滤波器可以使用更低的阶数，从而降低了实现复杂性。其在性能上的优越性使其广泛应用于对滤波器尺寸和成本有严格限制的场景。

2. 相位响应 (Phase Response) 和群延迟 (Group Delay)

相位响应描述了滤波器对不同频率分量产生的相位偏移。理想的线性相位滤波器会产生与频率成正比的相位延迟，即群延迟是常数，这意味着所有频率分量都经历相同的时延，不会导致信号波形失真。

Butterworth 和 Chebyshev 滤波器： 这些滤波器通常具有非线性相位响应，尤其是在通带边缘和过渡带附近。非线性相位响应会导致群延迟变化，从而引入信号的波形失真，即相位失真。在对相位失真敏感的应用中，如数据传输或精密测量，可能需要额外的均衡器来校正相位。
Bessel 滤波器： Bessel滤波器以其近似线性的相位响应而著称，因此具有相对平坦的群延迟。这意味着Bessel滤波器引入的波形失真最小。然而，作为代价，Bessel滤波器在幅度响应方面表现平庸，其过渡带不如Butterworth或Chebyshev滤波器陡峭。因此，Bessel滤波器常用于对脉冲响应保真度有较高要求的场合，例如医疗影像或测试测量设备。

3. 频率响应 (Frequency Response)

频率响应综合了幅度响应和相位响应，全面描述了滤波器对输入信号频率成分的影响。通过频率响应图，可以直观地看到滤波器在整个频率范围内的增益和相移特性。

低通、高通、带通、带阻：
各种逼近函数都可以设计成不同类型的滤波器，如低通（LPF）、高通（HPF）、带通（BPF）和带阻（BSF）。每种滤波器类型都有其特定的频率响应曲线。例如，LPF在低频段增益高，在高频段增益低；BPF在特定频率范围内增益高，而在其他频率范围增益低。

在实际应用中，工程师会根据信号的特性和系统需求，选择最能满足指标的逼近函数。例如，如果需要严格的频率选择性，可能会选择Elliptic滤波器；如果对信号波形保真度要求高，则会考虑Bessel滤波器。

4. 极点和零点图 (Pole-Zero Plot)

极点和零点图是理解滤波器稳定性和频率响应的强大工具。在Z平面（离散时间系统）或S平面（连续时间系统）上，滤波器的传递函数可以表示为极点和零点的比率。

极点 (Poles)： 极点是使传递函数变为无穷大的频率点。对于稳定的因果系统，所有极点必须位于单位圆内（Z平面）或S平面的左半平面。极点的位置和数量决定了滤波器的稳定性和共振特性。靠近单位圆的极点会产生更尖锐的峰值响应，即更高的Q值。
零点 (Zeros)： 零点是使传递函数变为零的频率点。零点的位置决定了滤波器在某些频率上的衰减特性。例如，在阻带中设置零点可以有效抑制特定频率分量。
逼近函数的极点零点分布：
- Butterworth 滤波器：
  极点均匀分布在S平面左半圆上，没有零点（对于全通滤波器除外）。这种均匀分布保证了通带的最大平坦度。
- Chebyshev 滤波器：
  极点位于椭圆上，对于Type I滤波器，零点位于无穷远；对于Type II滤波器，零点位于单位圆上。这种分布方式使得通带或阻带内可以产生等纹波，从而实现更快的过渡带。
- Elliptic 滤波器：
  极点和零点都位于单位圆上。零点位于阻带中，极点位于通带中，这种复杂的分布使得Elliptic滤波器能够同时在通带和阻带内产生纹波，从而实现最陡峭的过渡带。
- Bessel 滤波器：
  极点沿着一个特殊的轨迹分布，以实现近似线性的相位响应。其极点位置使其具有平坦的群延迟特性。

通过分析极点零点图，设计者可以直观地理解滤波器的频率选择性、相位特性和稳定性。例如，如果极点接近单位圆，滤波器可能会表现出振荡或不稳定性；如果零点位于通带内，可能会导致不期望的衰减。

结论

线性滤波器的逼近函数是滤波器设计的基础，每种函数都有其独特的优点和局限性。Butterworth滤波器以其通带平坦性而闻名，Chebyshev滤波器提供了更陡峭的过渡带，Elliptic滤波器在过渡带陡峭度上达到了极致，而Bessel滤波器则在相位线性度方面表现卓越。

在实际应用中，选择合适的逼近函数需要综合考虑幅度响应、相位响应、群延迟、滤波器阶数以及实现复杂性等多个因素。通过对这些特性进行深入理解和比较，工程师可以根据特定的设计要求，优化滤波器的性能，从而确保信号处理系统的稳定性和有效性。随着现代数字信号处理技术的发展，各种逼近函数在实际实现中也变得更加灵活和高效，为各种复杂的信号处理任务提供了强大的工具。