半导体物理基础-笔记（续）

源内容参考：https://www.bilibili.com/video/BV11U4y1k7zn/?spm_id_from=333.337.search-card.all.click&vd_source=61654d4a6e8d7941436149dd99026962

掺杂半导体的费米能级与温度及杂质浓度的关系图

• 在温度一定的条件下，施主杂质浓度越高，费米能级越靠近导带底；受主杂质浓度越高，费米能级越靠近价带顶。
• 在浓度一定的条件下，温度越高，费米能级越靠近本征能级。
• 杂质浓度越高，费米能级达到本征能级所需的温度越高。
  

微扰热平衡

给热平衡状态下的半导体施加一个微扰（例如外加电场（电注入）、光照（光注入）、温度突然增加（热注入））时，就会产生额外的载流子。注意，微扰增加的电子和空穴的浓度是相等的：$\Delta n=\Delta p$。额外的载流子注入使得原来的平衡被打破，半导体从平衡态转换为非平衡态。
当撤掉微扰后，经过非平衡载流子的平均生存时间$\tau$后，半导体会恢复到原先的平衡状态。

对于非平衡状态，少子的影响占主要作用。因此非平衡载流子的平均生存时间一般也称为少子寿命。

非平衡状态下少子占主要作用的原因

因为在平衡状态下少子浓度本来就很小，微扰造成的少子浓度增加不可忽略，而多子浓度本来就多，微扰造成的多子浓度增加可忽略不计。$\tau$的大小反映了撤掉微扰后非平衡载流子浓度衰减速度的不同。不同材料或同一材料在不同条件下$\tau$可以在很大范围内变化。
通常情况下，直接禁带半导体的$\tau$较短，间接禁带半导体的$\tau$较长。
非平衡载流子平均寿命与材料的完整性、缺陷、特定杂质、表面状态等有密切关系，而其寿命对器件性能又有重要影响，因此也称其为“结构灵敏参数”。

非平衡载流子衰减的原理

当微扰撤去后，非平衡载流子的衰减是由于载流子的复合造成的。因此单位时间非平衡载流子的复合概率等于：$1/\tau$。
复合率=非平衡载流子浓度×复合概率=$\frac{\Delta p}{\tau }$
复合率的物理意义：单位时间单位体积内净复合消灭的电子-空穴对。
因此非平衡少子寿命取决于非平衡载流子的复合过程。

载流子的复合过程

按照跃迁方式分类

• 直接复合：电子在导带和价带之间直接跃迁，引起电子-空穴对的消失
• 间接复合：电子和空穴通过禁带中的能级（复合中心）进行的复合。杂质和缺陷都可能形成复合中心
  

按复合发生的位置不同

• 表面复合
• 体内复合
  

复合过程中释放能量的三种方式

1. 发射光子，能发光——称为发光复合或辐射复合
2. 发射声子，不能发光——通过声子将能量传递给晶格，会加强晶格的振动，这种情况不会发光
3. 俄歇复合：复合时将多余的能量传给其他载流子，增加其他载流子的动能。
   

载流子的运动

漂移和平均自由时间

• 有电场时作定向漂移运动；
• 有浓度梯度时作扩散运动。

当有一个不太大的电场时，载流子能够在电场的作用下产生定向运动，称作漂移运动。一般情况（电场不太大）时，漂移速度远小于不规则热运动速度。
此外，载流子从电场获得能量的同时，还会遭到散射（晶体缺陷或杂质导致的局域性附加势场，作用于载流子时改变其运动状态）。散射相似于碰撞，导致载流子运动速度的大小和方向不断改变。因此，漂移产生的定向运动并不能无限累积，能够累积速度的时间仅限于平均自由时间$\tau$内，即连续的两次散射之间。

漂移速度

因此，在电场和散射的双重作用下，载流子会有一个平均速度，称为漂移速度。在弱电场范围内，漂移速度正比于电场强度E：
$\overline{v_d}=\mu E$
其中$\mu$称为迁移率，迁移率的计算公式为：$\frac{q}{m^{\ast }}\tau$，即迁移率的决定因素是有效电导质量和平均自由时间。有效电导质量越大，迁移率越小，反之越大（例如GaAs这种常见的半导体材料，由于其有效电导质量很小，因此迁移率很高。平均自由时间$\tau$的大小与温度和掺杂浓度有关。

总迁移率

总迁移率的倒数等于各种散射机构所决定的迁移率的倒数之和：
$\frac{1}{\mu }=\frac{1}{{\mu }_1}+\frac{1}{{\mu }_2}+\frac{1}{{\mu }_3}+\dots$
迁移率的大小反映了载流子在半导体中发生漂移运动的难易程度。
在温度一定时，当杂质浓度增加时，杂质散射中心的数量也会增加，使得迁移率变小。

对于轻掺杂的半导体，其载流子的迁移率是随温度升高而明显减小的，说明在轻掺杂的条件下，起主要散射作用的机构是晶格振动。

电阻率

N型半导体

$\rho =\frac{1}{nq{\mu }_n}$

P型半导体

$p=\frac{1}{pq{\mu }_p}$

本征半导体

${\rho }_i=\frac{1}{n_{i}q({\mu }_n+{\mu }_p)}$

半导体的电阻率与掺杂浓度和温度有关的原因

电阻率取决于载流子的浓度和迁移率，而载流子浓度和迁移率都与掺杂浓度和温度有关。
总的来说，电阻率随杂质浓度的升高而降低，但由于迁移率的影响，电阻率与杂质浓度并非线性关系。当杂质浓度增高时，曲线更严重地偏离直线，主要原因是：

1. 较高的杂质浓度在室温下并不能完全电离。对于重掺杂的简并半导体会更加严重；
2. 迁移率随杂质浓度的增加将显著下降。
   

半导体的电导率

电导率为电阻率的倒数。

N型半导体

${\sigma }_n=nq{\mu }_n=\frac{n{q}^2{\tau }_n}{m_c}$

P型半导体

${\sigma }_p=pq{\mu }_p=\frac{p{q}^2{\tau }_p}{m_p}$

混合型半导体

$\sigma =nq{\tau }_n+pq{\tau }_p=\frac{n{q}^2{\tau }_n}{m_c}+\frac{p{q}^2{\tau }_p}{m_p}$
其中，$m_c$为电子的电导有效质量，$m_p$为空穴的电导有效质量。

漂移电流密度

在电场不太强时

$J={\sigma }_n|E|=nq{\mu }_n|E|$
当电场不太强时，漂移电流密度与电场强度大小呈线性关系（电导率是常数：载流子浓度n在电场强度接近$10^{5}V/cm$时才开始变化（因为此时载流子在电场下的漂移速度远小于热运动速度，平均自由时间变化可忽略，由于$\mu =\frac{q}{m^{\ast }}\tau$，所以迁移率不变）故此时迁移率与电场强度无关）

在较强电场强度时

$|E|>10^{3}V/cm$时，载流子漂移速度达到与载流子热运动速度相当：

由于平均自由时间变小，故迁移率随电场变化。

漂移饱和现象

此时，半导体的电导率也随电场变化。而且载流子的漂移速度和半导体的漂移电流对电场的依赖关系也将偏离线性。当电场进一步增大，使得漂移速度与热运动速度相等的时候，载流子的漂移速度会达到饱和，之后即使电场增大也不会再有明显变化，此时的漂移速度称为饱和速度。

强场效应

当载流子的漂移速度饱和以后，载流子从电场中获得的能量主要不是用来增加漂移速度了，而是通过散射将能量传递给晶格。速度饱和的结果是使得漂移电流也趋于饱和，这种在强电场下的漂移电流饱和的现象称为强场效应。

欧姆定律的微分形式（准经典粒子的欧姆定律）

对一段均匀的导体来说，其电流密度等于电流除以其横截面积。对一段长为$l$，横截面积为$S$，电导率为$\sigma$的均匀导体，如果在其两端施加电压$V$，则导体内部各处都建立起电场$E=\frac{V}{l}$。故电流密度等于电导率与电场强度之积：
$J=\sigma E$
其中：

1. $J=\frac{I}{S}$
2. $E=\frac{V}{l}$
3. $I=\frac{V}{R}$
4. $R=\rho \frac{l}{S}$
5. $\rho =\frac{1}{\sigma }$
6. $\sigma =nq{\mu }_n$（电场不太大时）
7. $\mu =\frac{q}{m^{\ast }}\tau$

迁移率的决定因素是有效电导质量和平均自由时间。

载流子的扩散运动

载流子的扩散运动只与载流子浓度的不均匀性有关，与总浓度无关。扩散会使得浓度分布均匀化，当各处浓度都相等时，半导体处于平衡态。

净流动与扩散电流

当从高浓度区往低浓度区位移的粒子数超过从低浓度区往高浓度区位移的粒子数时，形成净流动。如果此时粒子带电，便形成扩散电流。

半导体内存在的四种相互独立的电流

在不考虑复合效应的前提下，当既存在电场又存在浓度不均时，半导体内存在四种电流：

• 电子漂移电流
• 空穴漂移电流
• 电子扩散电流
• 空穴扩散电流
  

电流方向

• 漂移电流：在相同的电场下，电子电流与空穴电流的方向相同。
• 扩散电流：在相同的浓度梯度下，电子电流与空穴电流的方向相反。
  

总电流

一维情形

$J=nq{\mu }_n{E}_x+pq{\mu }_p{E}_x+q{D}_n\frac{\text{d}n}{\text{d}x}+q{D}_p\frac{\text{d}p}{\text{d}x}$

三维情形

$J=nq{\mu }_{n}E+pq{\mu }_{p}E+q{D}_n\nabla n+q{D}_p\nabla p$
其中，$D_n$为电子扩散系数，$D_p$为空穴扩散系数。

扩散系数

扩散系数的物理意义：在存在浓度梯度时，载流子运动的难易程度。

爱因斯坦关系式

扩散系数与迁移率有关，以爱因斯坦关系式表达：
$\frac{D_n}{{\mu }_n}=\frac{D_p}{{\mu }_p}=\frac{kT}{q}$
与扩散系数不同的是，迁移率反映了在电场作用下载流子运动的难易程度。

平衡状态

在平衡状态下，半导体不存在宏观电流，故电子的总电流和空穴的总电流均等于零：
$$\begin{gathered} J_n=J_{n\text{drift}}+J_{n\text{diffusion}}=0 \\ {J}_p=J_{p\text{drift}}+J_{pdiffusion}=0 \end{gathered}$$
（注意：将迁移率和扩散系数分别代入上面两个等式便可推导出爱因斯坦关系式）

半导体连续性方程*

在实际的扩散过程中，非平衡载流子的数量会因电子与空穴的复合而减少。因此，当半导体材料中漂移、扩散和复合同时发生时，其总效应必须用连续性方程来描述：

当电子为少子（P型半导体）时，一维连续性方程

$\frac{\partial n}{\partial t}=D_n\frac{{\partial }^{2}n}{\partial x^2}+{\mu }_n|E|\frac{\partial n}{\partial x}+{\mu }_{n}n\frac{\partial |E|}{\partial x}-\frac{\Delta n}{{\tau }_{nt}}+g_n$

当空穴为少子（N型半导体）时，一维连续性方程

$\frac{\partial p}{\partial t}=D_p\frac{{\partial }^{2}p}{\partial x^2}-{\mu }_p|E|\frac{\partial p}{\partial x}-{\mu }_{p}p\frac{\partial |E|}{\partial x}-\frac{\Delta p}{{\tau }_{pt}}+g_p$

其中，$g_n(g_p)$表示由外界其他因素引起的单位时间单位体积内电子（或空穴）的变化；$\Delta n$表示非平衡电子浓度；$\Delta p$表示非平衡空穴浓度。
连续性方程的根本出发点是电荷守恒，其描述了非平衡载流子随时间和空间的变化规律。

总结

总空穴浓度=平衡空穴浓度+非平衡空穴浓度
总电子浓度=平衡电子浓度+非平衡电子浓度
且热平衡电子浓度和热平衡空穴浓度不随时间变化，在均匀半导体的特殊情况下还和空间坐标无关，则连续性方程可写为如下形式：

在这种描述形式下，某些项只包含总浓度，某些项只包含非平衡浓度，便于计算。

内建电场（以N型非均匀掺杂材料为例）

假如有一块N型半导体，其掺杂是非均匀的，在存在浓度梯度的情况下，必定会导致电子的扩散运动。

带负电的电子扩散位移以后，原地则会留下带正电的施主杂质离子。在这种情况下，分立的负/正电荷将会产生电场，称为内建电场（或感生电场）。
内建电场的存在必定又会引起载流子的漂移运动，因此，电子又会逆着电场方向运动，即内建电场会阻止载流子进一步扩散。

扩散长度

• 空穴扩散长度$L_p$：空穴与电子复合之前的平均扩散距离
• 电子扩散长度$L_n$：电子与空穴复合之前的平均扩散距离
  

牵引长度

代表在外电场的作用下，载流子复合之前的平均漂移距离。

• 空穴牵引长度：$L_p(|E|)$
• 电子牵引长度：$L_n(|E|)$

在电场很强时，少子的扩散运动可以忽略不计。此时，由表面注入的非平衡载流子在半导体中运动的距离便是牵引长度。